ResearchGate

u_y va u_z komponentalari ham nolga teng bo‘ladi. Shularga ko‘ra, uzviylik
du_x
tenglamasidan —— = 0 ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagilarga ko‘ra Navye-Stoks
d X
t
1 dp
X — + v
p dx


^rd²u d²u.


1 d p


1 dp


Y-


Z -


= 0


= 0;


= 0.


pdy p dz
Bu sistemaning oxirgi ikkita tenglamasi gidrostatika tenglamalari bilan mos tushadi, bu o‘z navbatida, harakatlanayotgan suyuqlikning ko‘ndalang kesimi yuzasida bosim ushbu


dy dz

englamasi quyidagicha yoziladi:
z ч = const (yoki gz + — = const)
pg p
gidrostatik qonun bilan taqsimlanganligini bildiradi. Bu xulosa faqatgina kuchsiz deformatsiyalangan oqimlar uchungina o‘rinli. Kuchsiz deformatsiyalangan oqimlar deb oqim chiziqlarining tarqalish burchaklari juda kichik, egrilik radiusi esa juda ham katta bo‘lgan oqimlarga aytiladi, ya’ni bu tushuncha miqdorli xarakterdan ko‘ra sifat xarakterga ega.
Namunaviy masalalar va ularning yechimlari
Sodda xususiy hollardan birida Navye-Stoks tenglamasining aniq yechimini ko‘rsataylik. Buning uchun qatlamli oqish masalasini qaraymiz, bunda tezlikning faqat bitta tashkil etuvchisi noldan farqli, qolganlari nolga teng, ya’ni u_x = 0;
0; u_z = u_z (x, y, z, t). Agar massaviy kuchlarni hisobga olmaslik darajasida kichik
d
u.
esak, u holda
•
_ 1 dp v d
p dx 3 dx


du, du,
—^L + u_z—^z d t dz


• uzviylik tenglamasi


^dux
dx


_n 1 dp v d
0 = — +
pdy 3 dy


1 dp v d (du₂ ^л


■ +


p dx 3 dz \dz _r
dp d(pii_z)


+ ■


+ v


^duy
dy


d²u d u_y d²u


z


(1.16)


dx ² dy ²


= 0


dz²


d t dz
Agar siqilmaydigan suyuqlik (p=const)ning barqaror oqishi


(1.17)


^duz
dt


\


= 0


У


holi

harakat tenglamasi
bilan cheklansak, u holda uzviylik tenglamasidan oqim bo‘ylab tezlikning o‘zgarmas
^d
0
du ^
e
dz

yo‘nalishlarda bosimning o‘zgarmas


A = 0; ^dP = 0~


dx


dy


ekanligi kelib chiqadi. Shularga

kanligi hamda dastlabki ikkita harakat tenglamasidan ko‘ndalang
asoslanib, (1.16) harakat tenglamasining uchinchisidan quyidagini yozamiz:
1
(118)


+ -
dp d² u_z d ²u_z

0 , _n, . 1, Jf<0 0 , , f —1, x<0 20
""^=w'^⁰' = < o, *>0 ■ = \ 0, I>0 20
fc, - «и). 55
— 74
— 74
— 74
,^V 78

u holda (1.16) harakat tenglamasining uchinchisida Oxy tekislikda ta’sir etayotgan tangensial qovushoq kuchlanish saqlanib qoladi, ya’ni
z
^ = ⁰; ^xz = ⁰; =p
da
ifodalaydi. Uni differensiallasak

du„

л- _я . (1.19)
dy
(
d ²r


dr.


= P-


d ²u„


dy dy ' dy²
(1.16) harakat tenglamasining uchinchisidan quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
d ²u
(1.20)


dp
— = p ¹
dz dy²

1.19) munosabat sodda holda Nyutonning qovushoq ishqalanish qonunini
Tekisliklar orasidagi masofa 2h va koordinatalar markazi kanal o‘qida yotgan bo‘lsa (1.8-rasm), u holda masalaning chegaraviy sharti sifatida suyuqlikning kanal devoriga yopishish shartini qabul qilishimiz mumkin, ya’ni
Shunday qilib, tekis kanaldagi suyuqlikning qatlamli oqishida tezlikning o‘lchamsiz shakli kvadratik parabola shaklida bo‘lib, u qovushoqlik miqdoriga ham va bosimning bo‘ylama gradientiga ham bog‘liq emas ekan.
Oz o‘qi bo‘qicha birlik qalinlikdagi plastinkalar orasidagi kesim orqali suyuqlik sarfi quyidagiga teng:
q = IT u_zds = -——h³,
^Q TT ^z 3p dz ^,
ya’ni suyuqlik sarfi bosim kamayishiga va plastinkalar orasidagi masofa kubiga to‘g‘ri proporsional, qovushoqlik koeffitsientiga esa teskari proporsional.

2. 
   m
   
   u
   
   
   y=± h
   
   
   0.
   
   
   1.8-rasm. Kanaldagi tekis parallel oqish sxemasi. (1.20) tenglamani integrallasak,
   du
   (1.21)
   
   
   dp du_z
   y + C, = p -
   dz dy
   
   
   Simmetriya shartiga ko‘ra y = 0 o‘rta sirtda
   1 dp
   
   
   ( du„
   
   
   \
   
   
   dy
   
   
   = 0
   
   
   1 dp
   
   
   demak C₁=0. (1.21) ni
   
   
   integrallasak, y + C₂ = pu_z, bu yerdan esa C₂ = - h . Natijada
   1 dp . ,2,
   u_z = (y - h ).
   ^z 2p dz
   Kanalning o‘qi (y=0) da oqim tezligi quyidagiga teng:
   h² dp
   u₀ = .
   2p dz
   Oxirgi ikkita tenglamani hadma-had bo‘lsak,
   2
   ^u^ _{= l}_y_
   u ₀ h²
   Qo‘zg‘almas devorga ta’sir etuvchi ishqalanish kuchi:
   
   
   Tyz =p
   
   
   du„
   
   
   dy
   
   
   y=±h
   
   
   = -h
   
   
   dp
   dz
   
   asala. O‘zaro o‘zgarmas tezlik bilan harakatlanayotgan ikkita cheksiz parallel tekisliklardan tashkil topgan kanalda qovushoq siqilmaydigan suyuqlikning tekis parallel qatlamli oqishi masalasini yeching.
   

Yechish. Faraz qilaylik, Oyz tekislikning hamma joyida suyuqlik zarrachalari Oz o‘q bo‘ylab U tezlik bilan yo‘nalgan va hamma miqdorlar faqat y koordinatadan bog‘liq (1.9-rasm).

9. 
   rasm. Kanaldagi tekis parallel qatlamli oqish sxemasi.
   

Statsionar oqim uchun harakat tenglamasidan
d
= 0

p d² u
dy ’ dy²
b
tekisliklar orasidagi masofa)

u yerdan esa ^=const, u=ay+b. y=0 va y=h da (h
mos ravishda u_z = 0 va u₂ = U.
Bularga ko‘ra
U
Bu tenglik suyuqlik tezligi taqsimoti chiziqli ekanligini bildiradi. Suyuqlikning o‘rtacha tezligi quyidagicha:
”■ U
2 .


u_n


1 h
l J ^uz^dy


h

_z = -U
^z h
y=0 tekislikdagi tangensial ishqalanish kuchi quyidagiga teng:
du U
y=h tekislikda uning qiymati shu miqdorning qarama-qarshi ishoralisiga teng.

2. 
   m
   siqilmaydigan (p=const) suyuqlikning barqaror
   
   
   du_z d t
   
   
   = 0
   
   
   oqishi masalasini yeching
   
   
   j
   
   asala. Ko‘ndalang kesimi kvadrat shaklidagi quvurdan qovushoq
   

(1.10-rasm).
Yechish. Quvurning kirish va chiqish kesimlaridan uzoqda suyuqlik oqishi Oz o‘q bo‘ylab o‘zgarmas bo‘lib qoladi, u holda (1.18) tenglama o‘rinli. Bunday turdagi
oqishda — miqdor o‘zgarmas bo‘ladi. Agar bunda masshtabga nisbatan o‘lchamsiz
dz
holatga o‘tsak, u holda (1.18) tenglama u_z funksiyaga nisbatan ushbu
d


tezlik quyidagicha: u_zmax = 0,2947.

+1 = 0
dx² dy²
Puasson tenglamasiga keladi, bunda chegaraviy shartlar quyidagicha:
' 0.
²u, 5²w,
^u
y=±1

z L=±i = ⁰ ; ^uz

9. 
   rasm. Kvadrat kesimli quvur sxemasi. Quvurning markaziy nuqtasidagi maksimal
   

2. 
   masala (Doiraviy quvurda laminar oqim qonuniyatini ifodalovchi masala). Yuqoridagi masala tenglamasini doiraviy kesimli quvur uchun yeching (1.11-rasm).
   

9. 
   rasm. Doiraviy kesimli quvurdagi oqim sxemasi.
   

Y echish. Suyuqlikning o‘zgarmas bosim sarfi ta’sirida gorizontal quvurdagi barqaror laminar oqimini qaraylik. Oqim barqaror bodganligi uchun R radiusli silindrga ta’sir etayotgan barcha kuchlarning o‘qdagi proeksiyalari yig‘indisi nolga teng, ya’ni suyuqlik zarrachalarini harakatga keltiruvchi aktiv kuchlar qarshilik kuchlariga teng bo‘lishi lozim. Quvur ichidan r radiusli silindr ajrataylik.
A
nr² Ap = 2nrh. Natijada r =


A pr
~2T


Bu yerdan urinma kuchlanishning radius bo‘ylab

ktiv kuchlar: pA - p₂A = ApA = nr ²Ap. Qarshilik kuchlari: 2nrlr. Shunday qilib,
chiziqli o‘zgarishi kelib chiqadi.
Doiraviy kesim markazini koordinata boshi deb tanlaymiz va qutb koordinatalari sistemasini kiritamiz. Simmetriya shartiga ko‘ra u = u_z(r) . Laplas operatorining qutb koordinatalari sistemasidagi ifodasidan foydalanib, ushbu
1
Ap
jul


r dr
d ( du ^ r
V
tenglamani tuzamiz, bunda l - quvur bo‘lagi uzunligi; Ap=p₂-p₁ - quvur oxirgi kesimlaridagi bosimlar farqi; u - dinamik qovushoqlik; Ap /1 - bosim gradienti. Bu tenglamani integrallasak,
Ap


u = —


4pl


r + a ln r + b


(1.22)


bunda a, b - integrallash o‘zgarmaslari. a o‘zgarmasni nolga teng deb olish zarur, chunki tezlik quvurning barcha kesimlari nuqtalarida, uning markazida ham, chekli miqdor bo‘lib qolishi kerak. b o‘zgarmasni esa r=R (R - quvur radiusi) chegarada
A p
u=0 shartdan topamiz: b = ^~jR². Natijada
Ap


u = - (R - r ) yoki u =


A pR


² f _r²


(1.23)


2


\pl " ' ^J ~ 4pl
Shunday qilib, quvur kesimi bo‘ylab tezlik aylanma paraboloid qonuniyat bilan taqsimlangan ekan. Oxirgi (1.23) formula Puazeyl formulasi deb ataladi.
Suyuqlik zarrachasining maksimal tezligi quvur markazida bo‘ladi, ya’ni r = 0
A pR²


V


R


У


da uning miqdori Bunga ko‘ra


u


\pl


u = u„


V


R


2


j


yoki


u


u


1 - - R²

dr j
Bundan kelib chiqadiki, oqimning ixtiyoriy nuqtasidagi tezlikning o‘qdagisiga nisbati suyuqlik sarfi va tarkibi hamda quvur devorining materialiga bog‘liq emas ekan.
Quvuming ko‘ndalang kesimi orqali bir sekundda oqayotgan Q suyuqlik miqdori (massasi) yoki quvurdagi suyuqlik sarfi osongina aniqlanadi. Xalqali elementning quvur kesimi yuzasi (2nrdr) orqali bir sekundda 2nrupdr suyuqlik miqdori oqib o‘tadi. Shunga ko‘ra,
R
Q = 2 npj rudr.
0
B
Q


2nA p
4v l


R