ResearchGate

(дф/dx) hosila uchun c oldinga ayirma

... Й + 1 — Oj + [ - Vi x_i+i — Xj. Л.г '
o orqaga ayirma

o

markaziy ayirma

(—)
‘ dx ■ i

(дф /д) hosila uchun

! do \ n \ r)f ' !

O-i | O-i Oi I

A:r
Фг+1 — Фг 1
2Ai*
n+1

Xi - Zi -1 Фг+1 Фг 1
z+ 1 tL i 1
of⁺ⁱ ~ Ф? of⁺¹ -ф*

8t о tⁿ⁺¹ - tⁿ At
Faraz qilaylik, oldinga fazoviy ayirmani tanladik. (2.1) tenglamaning yechimi uchun quyidagi ayirmali sxemaga ega boTamiz:
₍₂₂₎
Hozircha v =const deb faraz qilaylik. Bu usulning ustivorligini tahlil qilaylik.
2.2.2. Diskret qo‘zg‘alishlar usuli
Faraz qilaylik, ixtiyoriy i uchun ф" = 0 statsionar yechim topilgan, shu nuqtalardan biroritasida yetarlicha kichik e qo‘zg‘alish kiritaylik. U holda (2.2) quyidagi tenglikka aylanadi:

vAt,

Ax

Bu sxema ustivor bo‘ladi, agar

,,_i vAt / o_ii •,
4F ~~^f ' ^eX7 = ^f(' ¹ л7

Ax

(2.3)
Bu faqat v < 0 boTgandagina o‘rinli. Shunday qilib, faqatgina tezlik o‘z ishorasini o‘zgartirmaydigan sohadagina bu sxemadan foydalanish mumkin. Agar г > 0 bo‘Isa, u holda orqaga ayirmadan foydalanish lozim bo‘ladi. Bu - oqimga qarshi ayirmalarli sxema deb ataladi. (2.3) shartdan vaqt bo‘yicha qadamning cheklanganligi ham kelib chiqadi.

2.2.3. Teylor qatoriga yoyish yordamida approksimatsiya
aniqligining tartibini topish

Teylor qatoriga ko‘ra

Bulami (2.2) ga qo‘yamiz:

rAt
Ax

2 ^Ox²

Bu tenglamani dastlabki (2.1) ko‘chirish tenglama bilan taqqoslaymiz. Ko‘rinib turibdiki, bu usul ham fazo bo‘yicha va ham vaqt bo‘yicha birinchi tartibli aniqlikka ega.


Agar biz x bo‘yicha markaziy ayirmani olsak, u holda Eylerning oshkor usuli deb ataluvchi ushbu
JL.n+1 in * ( ,.,K in \
' ¹ ■'Aj'- *⁺¹ (2.4)
sxemaga ega bo‘lamiz. Furye-komponentalardan foydalanib, bu sxemaning ustivorligini fon-Neyman usuli yordamida tahlil qilamiz. Faraz qilaylik, masalaning «-qatlamdagi yechimi har biri фф =ф exp(ikxj) ko‘rinishdagi furye-modalarning yig‘indisi ko‘rinishida yozilsin. Buni (2.4) ga qo‘yamiz:
V
o’^Hl
At \ ; / vAt
1 —(exp(ikAx) — exp(— ikAx)) о I l —isin(kAx)
2Ax \ Ax
«
bu yerda


9V



g =gg = Ы
sin(kAx)


Ustivorlik sharti quyidagicha yozilishi mumkin: Ы < ¹ ■ Ammo
( vAt


\


L.


(2.5)


Bu shuni bildiradiki, Ax va At qadamlarni ixtiyoriy tanlashda bu usul sharsiz noustivor. Fazo bo‘yicha markaziy ayirmalar bilan bu usulni ustivorroq qilishning iloji bormi, degan savol tug‘iladi. Buning uchun vaqt bo‘yicha дф /St hosilani boshqacha approksimatsiyalaymiz.
2.2.4. Laks sxemasi


Bungako‘ra
Bu sxemaning ustivorligini xuddi yuqoridagidek tekshiramiz:


vAt


vAt


фп+i фп | _cos^Дд.) —_—isin(kAx) ].


U holda


f v At


gg* = cos²(kAx) + y-^-— sin(kAx) ] = 1 — sin^2fL"


з\ A ¹ - ustivorlik sharti bajariladi, agar


'-(АГА-


Demak
yoki





ч At
At < - г


Bu Kurant-Fridriks-Leva ustivorlik sharti. Agar tezlik o‘zgarsa, u holda ushbu

-qatlamdan w+l-qatlamga o‘tish ko‘paytuvchisini kiritamiz:
shartning bajarilishi talab qilinadi.
Boshqacha aytganda, tizimda ma’lumot tarqalishining maksimal tezligi Ax/At - sonli tezlikdan kichik bo‘lishi lozim.
Kurant sharti quyidagicha kiritiladi:
C
< 1 shart ko‘pgina oshkor chekli-ayirmali sxemalar uchun keng tarqalgan shart hisoblanadi.
Sinov savollari

1. 
   Koordinata bo‘yicha hosilalarning chekli ayirmali approksimatsiyasini chiqaring.
   
2. 
   Vaqt bo‘yicha hosilalarning chekli ayirmali approksimatsiyasini chiqaring.
   
3. 
   Ko‘chirish tenglamasini chekli-ayirmali holda yozing.
   
4. 
   Laks sxemasi qachon ustivor?
   
5. 
   Ustivor va noustivor sxemalarga misollar keltiring.
   
6. 
   Approksimatsiya aniqligi deganda nimani tushunasiz?
   
7. 
   Laks sxemasi uchun approksimatsiya aniqligini ko‘rsating.
   
8. 
   Ayirmali sxemaning ustivorligini fon-Neyman usuli yordamida tahlil qiling.
   
9. 
   Kurant-Fridriks-Leva ustivorlik sharti deganda nimani tushunasiz?
   

Adabiyotlar: [3], 75-88 b.
Fan: «Gidrodinamikaning asosiy masalalarini sonli yechish usullari».
O‘quv-mashg‘ulot soati: 4 s. (ma’ruza); 6 s. (mustaqil ish).
O‘quv-mashg‘ulot turi: an’anaviy ma’ruza.
O‘quv-mashg‘ulot maqsadi:

• 
  ta’limiy - ko‘chirish va diffuziya tenglamalarini yechishning oshkormas sxemalari, ustivorlikning fon Neyman kriteriyasi, Laks-Vendroffning ikkiqadamli sxemasi, Leapflog yoki o‘rta nuqtali chexarda sxemasi, diffuzion had, ko‘p o‘lchovli masalani yechishning Laks sxemasi kabi mavzuga oid materiallarni qabul qilish va ularga bog‘liq ma’lumotlarni eslab qolish;
  
• 
  tarbiyaviy - ishontirish; xulqi ustidan nazorat; faol mustaqil ishlash; mustaqil ishni bajarishda vaqtni to‘g‘ri taqsimlash; javobgarlikni his qilish; mehnat- sevarlik; yakka tartibda va guruhlarda hamkorlikda ishlash; raqibni hurmat qilish; kelishuvchanlik; bir to‘xtamga kelish; diqqatni jamlash; sarishtalik;
  
• 
  rivojlantiruvchi - darslik bilan ishlash; ijodiy namuna; tahlil; taklif; xulosa; tanqidiy qarash; xususiydan umumiyga o‘tish; umumlashtirish; nazariy, mantiqiy va analitik fikrlash; ijodiy yondashish; Internetdan foydalanish.
  

O‘quv-mashg‘ulotni o‘qitish texnologiyasi:

• 
  o ‘qitish usuli: noan’anaviy (tashkiliy qism; so‘rash, tushuntirish, mustahkam- lash, aqliy hujum; «Insert» texnikasi; uyga vazifa; xulosa);
  
• 
  o ‘qitish shakli: jamoaviy, guruh bo‘lib;
  
• 
  o‘qitish vositasi: uslubiy qo‘llanma; ma’ruzalar matni; tarqatma materiallar; slaydlar;
  
• 
  o ‘qitish sharoiti: kompyuter; videoproyektor; elektoron doska bilan ta’minlan- gan auditoriya;
  
• 
  monitoring va baholash: og‘zaki; blits-so‘rov; test.
  

O‘quv-mashg‘ulot rejasi:

• 
  Ko‘chirish tenglamasini yechish uchun oshkormas sxemalar.
  
• 
  Diffuziya tenglamasini sonli yechish.
  
• 
  Vaqt bo‘yicha ikkinchi tartibli aniqlikka ega oshkor chekli-ayirmali sxemalar.
  
• 
  Chekli-ayirmali sxemalarda oshkor sonli qovushoqlikning kiritilishi.
  
• 
  Ko‘p o‘lchovli masalalar uchun umumlashtirish.
  

Tayanch so‘zlar va iboralar:
ko‘chirish tenglamasi; oshkormas sxema; diffuziya tenglamasi; ustivorlikning fon
Neyman usuli; ustivorlik sharti; Laks-Vendroffning ikkiqadamli sxemasi;
Leapflog yoki o‘rta nuqtali chexarda sxemasi; diffuzion had; ko‘p o‘lchovli
masala; Laks sxemasi.
O‘quv-mashg‘ulot mazmuni:

1. 
   Ko‘chirish tenglamasini yechish uchun oshkormas sxemalar
   

Fazoviy hosilalami n+1 -qadam uchun yozsak, u holda markaziy ayirmalar uchun ushbu
ayirmali tenglamani hosil qilamiz. Bu Eylerning oshkormas usuli. Uning ustivorligini fon Neyman usuli bilan tahlil qilsak, quyidagiga ega boMamiz:
v
i

At
a = Ц—-—iamlkAx
¹ Ax
U holda
,
<


99
■ , ч V
l + ( ——sm(kAx))
' Л:Г ¹
Shunday qilib, bu usul At qadamning ixtiyoriy qiymatlarida shartsiz ustivor. Ma’lumki, ixtiyoriy oshkormas usul yordamida bu tenglamani yechish osonlikcha amalgam oshmaydi. Yuqoridagi ayirmali tenglamani matritsa ko‘rinishida yozaylik:
Аф^п+1 = ф^п,
bunda A - uch diagonally matritsa. Bunga ko‘ra vaqtning har bir qadamida chiziqli (tezlik o‘zgaruvchan bo‘lgan holda nochiziqli) tenglamalar sistemasini yechish talab qilinadi. Bu usulda qadamning qiymatini oshkor usullarga nisbatan kattaroq olish mumkin.

2. 
   Diffuziya tenglamasini sonli yechish
   

Ushbu
d
дф(:x,t) d²(x,t)
t ^f dx²
diffuziya tenglamasidagi ikkinchi tartibli xususiy hosilani
д²ф д /до’'
дх² dxydx
kabi yozib, ularning birinchisini oldinga ayirma bilan, ikkinchishini orqaga ayirma bilan approksimatsiyalaymiz:
Ф
(Mi

(Ml

d²o
Ox²
г+l - 2<£i + фг-\