ResearchGate

a At 2Ax


fc, - «и).

uqorida ayirmali sxemaning ustivorligini o‘rganayotganimizda ko‘chirish tenglamasini yechish uchun ikkita noustivor birinchi tartibli oshkor shakldagi ayirmali sxemani misol tariqasida keltirdik. Oxirgi misolda esa Laks sxemasini qo‘llash bilan ustivor sxemaga keldik. Demak giperbolik tipdagi tenglamani yechish uchun foydalanilgan birinchi tartibli aniqlikka ega sxema vaqt bo‘yicha markazlashtirish bo‘lmaganligi sababli noustivor. Masalan, o‘sha ustivor Laks sxemasini quyidagicha yozishimiz mumkin:
Bu tenglama ikkinchi tartibli aniqlikka ega, va u quyidagi differensial tenglamaga ekvivalent:
du At d²u Ax² d ²u du
— + _T ^ + v— = 0.
dt 2 dt² 2At dx² dx
Bu yerda biz Laks sxemasini qo‘llash bilan ko‘chirish tenglamasini yuqoridagi tenglama bilan modellashtiramiz. Bu tenglamadagi ikkinchi had Laks sxemasini noustivorlikka, uchunchi (diffuzion) hadning qo‘shilishi esa uni ustivorlikka olib keladi. Agar bu diffuzion had ikkinchi haddan oshsagina Laks sxemasining ustivorligiga kafolat berish mumkin.
Umuman olganda ustivorlik kriteriyasi lokal shartni ifodalaydi, shuning uchun ustivorlik shartining bajarilishini ta’minlash maqsadida vaqt qadamini kichiklashtirish yuqori-dagi tenglamadagi diffuzion hadning keskin o‘sishiga olib keladi. Natijada bu to‘lqinning yoki diffuziyaning so‘nishi sodir bo‘ladi (bu barcha birinchi tartibli aniqlikdagi usullarga xos). Bu giperbolik tipdagi tenglamalar uchun juda jiddiy muammo.
Ayirmali sxemalarda diffuziya va dispersiya (har xil uzunlikdagi to‘lqinlar har xil tezliklar bilan tarqaladi)ning mavjudligi - bu barcha ayirmali sxemalarga xos. Neymanning ustivorlik sharti juda keng qo‘llanilish imkoniyatiga ega va u ustivorlik kriteriyasini juda osongina chiqarishga imkon beradi. Ammo uning kamchiligi shundaki, u bizga ayirmali sxema haqida mukammal xulosalarni bermaydi, masalan, eng muhim xossalardan biri dispersiya va diffuziya haqida. Ideal holatda, agar masala murakkab matematik ifodalarsiz bo‘lsa, u holda to‘rdagi furye-moda chastotasining to‘lqin soni bilan bog‘liq ifodasidan dispersion munosabatlarni chiqarish mumkin (1.4-bandga qarang). Ayirmali sxemaning dispersion munosabatini mos differensial tenglamaning dispersion munosabati bilan taqqoslash oqrali ayirmali sxemaning ko‘llaniluchanligi va aniqligini tahlil qilish mumkin. Masalan, eng sodda holda ko‘chirish differensial tenglamasi uchun co=ak - chastota tenglamasi, о- chastota; a - fazoviy tezlik; k - to‘lqin soni. Bu ifoda ko‘chirish differensial tenglamasida о miqdor sof haqiqiy qiymat qabul qilishini bildiradi, bu esa birorta modada so‘nish yo‘qligini, barcha to‘lqin sonli to‘lqinlar bir xil fazoviy va guruh tezliklariga ega ekanligini va bu o‘z navbatida esa to‘lqin dispersiyasining yo‘qligini bildiradi.
Ko‘chirish tenglamasi uchun quyidagi ustivor sxemani qaraylik: ыГ¹ =0,5(uⁿ_i+1 + uⁿ_M) - aMt (uⁿ+₁ - uⁿ_i_₁ )/(2Mx);
Bu sxemaga u(x,t) = ue^l(°^t-kx) furye-modani qo‘ysak,