Reja Sonli qator yig‘indisi tushunchasi Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar Ikki karrali qatorlar Sonli qator yig‘indisi tushunchasi

Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar

Xosmas integrallar uchun absolyut va shartli yaqinlashishlar kiritilgani kabi, sonli qatorlar uchun ham absolyut va shartli yaqinlashish tushunchalarini kiritish mumkin.

Ta’rif. Agar

qator yaqinlashuvchi bo’lsa,

qator absolyut yaqinlashadi deymiz.

Umumiy taqqoslash alomatidan har qanday absolyut yaqinlashuvchi qatorning yaqinlashuvchi ekani bevosita kelib chiqadi. Ta’rif. Agar (9.3.2) qator yaqinlashib, (9.3.1) qator uzoqlashsa, (9.3.2) qator shartli yaqinlashadi deymiz.

Avvalgi paragraida o'rganilgan Koshi va Dalamber yaqinlashish alomatlari aslida berilgan qatorning absolyut yaqilashishini kafolatlaydi. Shartli yaqinlashuvchi qatorlarni o‘rganish, ya’ni ular uchun yaqinlashish alomatlarini aniqlash, ancha nozik masalalardandir. Quyida biz shunday alomatlardan ba’zilari bilan tanishaniiz.

Navbatdagi yaqinlashish alomati quyidagi

maxsus ko‘rinishdagi qatorlarga qo'llanadi, bunda a_k va b_k lar haqiqiy sonlar bo'lib, ulardan biri ishorasini saqlasa, ikkinchisi, masalan a_k, turli ishorali qiymatlar qabul qilishi mumkin. Bu alomat birinchi tur xosmas integrallar uchun Dirixle-Abel yaqinlashish alomatining diskret ko'rinishidir.

9.3.1 - teorema (Dirixle-Abel alomati). Agar a_k ketma-ketlikdan tuzilgan (9.3.2) ko‘rinishdagi qator qismiy yig‘indilari chegaralangan bo‘lsa, ya’ni

va b_k ketma-ketlik monoton kamayib,

nolga intilsa,

u holda (9.3.3) qator yaqinlashadi.

Isbot. S_n simvol orqali ∑ a_k qatorning qismiy yig'indilarini belgilaylik. U holda

bo'ladi va shu sababli istalgan n ≥ m nomer uchun

tenglikka ega boiamiz.

Demak,


Modomiki, (9.3.4) shartga ko‘ra, |S_n| ≤ M ekan, oxirgi tenglikdan

bahoni olamiz.