Oxirgi tenglik barcha lar uchun o'rinlidir, chunki

ko'rinishda yozib olishimiz mumkin. Bundan vektorlarning chiziqli erkliligini hisobga olsak,

tengliklar kelib chiqadi. Oxirgi tenglikdan boshlab, ketma-ket larni topamiz:

Oxirgi tenglik barcha lar uchun o'rinlidir, chunki

Bu tenglikdan hisoblashni kontrol qilish uchun foydalanish mumkin. Hisoblashni soddalashtirish maqsadida deb olishimiz mumkin. Unda qolganlari quyidagicha topiladi:

Bularny hisoblashda Gorner sxemasidan foydalanish ma'quldir. Agar berilgan xos songa A matrisaning bir necha xos vekto ri mos kelsa, u holda ularni izlash uchun boshqa dastlabki vektorni tanlab olib, shu hisoblash jarayonini takrorlash mumkin.
Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod. Faraz qilaylik, A matrisa oddiy strukturaga ega va uning xos sonlari bo'lib, ularga mos keladigan chiziqli erkli xos vektorlar bo'lsin. Bu yerda to'rt holni ko'rib chiqamiz:
1-hol. A matrisaning xos sonlaridan bittasi moduli bo'yicha eng katta bo'lsin. Umumiylikka zarar yetkazmasdan xos sonlar quyidagi tartibda joylashgan deb faraz qilishimiz mumkin:

Biz , ning taqribiy qiymatini topish usulini ko'rsatamiz. Ixtiyoriy noldan farqli vektorni olib, uni A matrisa xos vektorlari bo'yicha yoyamiz:

Bu yerdan lar o'zgarmas sonlar bo'lib, ayrimlari nol bo'lishi ham mumkin. vektor ustida matrisa yordamida almashtirish bajaramiz:

Bu yerdan ekanligini hisobga olib,

ga ega bo'lamiz.
Endi o'lchovli vektorlar fazosi da ixtigriy bazis olamiz. Shu bazisda

bo'lsin. (22) tenglikni koordinatalarda yozib chiqamiz:

Shunga o'xshash

Bu yerda deb belgilab, (24) ni (23) ga bo'lamiz:

Faraz qilaylik, bo'lsin, bunga erishish uchun dastlabki vektor va bazisni kerakli ravishda tanlash kerak. Endi


Bu yerdan esa (21) ni hisobga olsak, da kelib chiqadi.
Demak, (26) ni quyidagicha yozishimiz mumkin:

Bu yerdan esa yetarlicha katta lar uchun

deb olishimiz mumkin. Odatda vektorning bir necha koordinatalari noldan farqli bo'ladi. Shuning uchun (27) da nisbatni ning bir necha qiymatida hisoblash mumkin. Agar bu nisbatlar yetarli aniqlikda ustma-ust tushsa, u holda biz , ni yetarli aniqlik bilan topgan bo'lamiz.
Ravshanki, bu jarayonning yaqinlashish tezligi ning kichikligiga bog'liqdir.
Eslatma. Yuqoridagi iterasion jarayonning yaqinlashishini tezlashtirish uchun ayrim hollarda quyidagi matrisalar ketma-ketligini tuzish foydalidir:
,
,

yerdan esa deb olib,

va

ga ega bo'lamiz.
Topilgan eng katta xos son ga mos keladigan xos vektor sifatida ni olishimiz mumkin. Haqiqatan ham, (22) formuladan

ga ega bo'lamiz. Bu yerdan

Agar biz ekanligini hisobga olsak, u holda yetarli aniqlik bilan

ga ega bo'lamiz, ya'ni xos vektor dan sonli ko'paytuvchi bilan farq qilyapti va, demak, u .
2-hol. A matrisa xos sonining moduli bo'yicha eng kattasi karrali bo'lsin. Faraz qilaylik,


bo'lsin. Bu holda (25) tenglik quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Bu yerda ham deb faraz qilamiz va

belgilashlarni kiritib, (28) ni quyidagicha yozamiz:

Bundan esa, ni hisobga olib,

ga ega bo'lamiz. Shunday qilib, yuqorida keltirilgan jarayon bu yerda ham o'rinlidir. 1) holdagidek A matrisaning , xos soniga mos keladigan xos vektor sifatida taqribiy ravishda ni olishimiz mumkin. Umuman aytganda, boshqa dastlabki vektorni tanlab boshqa xos vektorga ega bo'lamiz. Shunday kilib, ga mos keladigan boshqa xos vektorlarni ham topish mumkin.
3-hol. Faraz qilaylik, A matrisaning xos sonlari quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

va

yerda yuqoridagi iterasion jarayonni qo'llab bo'lmaydi. Haqiqatan ham, (23) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

Bu yerda va hadlar bir xil tartibga ega bo'lib, ning o'zgarishi bilan ikkinchisi o'z ishorasini o'zgartiradi. Demak,

nisbat da limitga ega bo'lamaydi. Lekin bu yerda va yoki va dan foydalanib, ni topishimiz mumkin:

Shunday qilib, bu holda matrisaning moduli bo'yicha eng katta xos sonini topishimiz mumkin. A matrisaning va xos sonlarga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun va vektorlarni tuzamiz:

A matrisaning xos soniga xoc vektor va xoc soniga xos vektor mos keladi. Shuning uchun ham, ga mos keladigan xos vektor sifatida ni olshshshiz mumkin. Arap va yoki bularning birortasi birdan katta bo'lsa, u holda boshqa dastlabki vektorni tanlab shu jarayonni takrorlash kerak.
4-hol. Bu holga A matrisaning moduli bo'yicha eng katta xos sonlari qo'shma kompleks
bo'lgan hol yoki modullari bilan o'zaro juda yaqin bo'lgan hol kirali. Faraz qilaylik, va xos sonlar qo'shma kompleks sonlar bo'lib, quyidagi shartni qanoatlantirsin:

Bu holda, quyidagi taqribiy tengliklarning o'rinli ekanligiga osongina ishonch hosil qilish mumkin:

Demak, bu vektorlar orasida quyidagi taqribiy chiziqli bog'lanish mavjud:

Agar hisoblash jarayonida vekterlar orasida

chiziqli bog'lanish o'rinli bo'lsa, u holda va lar

kvadrat tenglamani qanoatlantiradi. Bu tenglamaning va koeffisiyentlarini quyidagi mulohazalar yordamida topish mumkin. (30) tenglikda komponentlarga o'tsak,

bo'lib, deb olamiz. Bu yerdan va q ni topib, (31) ga qo'ysak, u holda (31) ni quyidagicha yozsak bo'ladi:

(31) tenglikdan va topilgandan keyin ularga mos keladigan xos vektorlarni ham topish mumkin, (29) dan

ga ega bo'lamiz. Bu natijalarni, modullari teng yoki yaqin bo'lgan xos sonlarning soni bir juftdan ko'p bo'lgan hol uchun ham umumlashtirish mumkin.
Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish. Faraz qilaylik, A matrisaning xos sonlari quygidagi shartni kanoatlantirsin:

ya'ni A matrssaning bir-biridan farqli bo'lgan ikkita modullari bo'yicha eng katta xos soni mavjud bo'lsin. Bunday vaqtda 1-holda ko'rilgan usulga o'xshash usulni qo'llab, va unga moo keladigan xos vektorni topish mumkyan. (22) formulaga ko'ra

Bu tengliklarda , ni yo'qotish uchun (33) ni ga ko'paytirie (34) dan ayiramiz. Natijada

ga ega bo'lamiz.
Yozuvni qisqartirish maqsadida ning -ayirmasi deb ataluvchi quyidagi

belgilashni kiritamiz. Agar bo'lsa u holda da (35) da birinchi qo'shiluvchi yigindiping bosh qismi buladi va biz

taqribiy tenglikka ega bo'lamiz. Bu yerdan esa

Bu tengliklarni komponentlarda yozib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo'lamiz: