Reja Sonli qator yig‘indisi tushunchasi Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar Ikki karrali qatorlar Sonli qator yig‘indisi tushunchasi

Isbot. Bevosita Koshi kriteriysi va

tengsizlikdan kelib chiqadi.

9.1.3 - teorema (xususiy taqqoslash alomati). Agar 0 < q < 1 bo‘Isa va С > 0 berilgan o ‘zgarmas bo‘lib, biror N nomerdan boshlab

tengsizliklar bajarilsa,

qator yaqiniashadi.

Isbot. Yuqorida qayd qilinganidek, qatorning istalgan chekli sondagi hadlarini o‘zgartirish uning yaqinlashishiga ta’sir qilmaydi. Shunday ekan. bu tasdiq 9.1.2 - teorema va 9.1.2 – misoldan bevosita kelib chiqadi. ■

9.1.3 - misol. Quyidagi

qatorni qaraylik.

Ravshanki, bu qatorning hadlari

bahoni qanoatlantiradi. Bundan chiqdi, (9.1.8) tengsizlik q = 1/3 va С = 3 qivTnatlar uchun bajarilar ekan. Demak, (9.1.9) qator yaqiniashadi.

7*. Xuddi yuqoridagi singan kompleks sonii qator tushunchasi kompleks sonlarning formal cheksiz yig‘indisi sifatida aniqlanadi, ya’ni

Bunda har bir had c_k= c_k + ib_k ko'rinishga ega bolib, a_k va b_k lar haqiqiy sonlardir.

Agar

limit mavjud bo'lsa, (9.1.10) qator yaqinlashuvchi deyiladi, bunda S soni (9.1.10) qatorning yig'indisi deb ataluvchi kompleks sondir. (9.1.10) kompleks qatorning yaqinlashishi quyidagi ikki

haqiqiy qatorlarning yaqinlashishiga teng kuchli ekanini ko'rsatish qiyin emas.

Bunda

munosabatlar bajariladi.

9.1.4 - misol. Moduli ‖ z ‖ < 1 shartni qanoatlantiruvchi istalgan z = x + iy komleks son uchun

tenglikni isbotlang.

Ma’lumki (9.1.2 - misolga qarang),

Agar bu tenglikda n→∞ deb limitga o'tsak, talab qilingan (9.1.11) munosabatni olamiz.

1 - eslatma. (9.1.11) ayniyat ayniqsa kompleks sonlaming trigonometric ko'rinishidan foydalanilgan hollarda ko;p qo‘llaniIadi. Cbunonchi, ist.algan z = x + iy kompleks son uchun r ={z}= va Ψ=arctg(y/x) deb belgilaylik.

U holda

va natijada

Shu sababli (9.1.11) ayniyatni, soddalik uchun yig'indi indeksinibir birlikka. surib, quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

Maxrajdagi mavhum sondan qutulish maqsadida quyidagi

tenglikni yozamiz.

Natijada qatorning haqiqiy qismi uchun

tenglikni va qatorning mavhum qismi uchun, k=0 ga mos kelgan hadning nolga tengligini hisobga olsak,

tenglikni olarniz.

Odatda (9.1.13) tenglik quyidagi ko'rinishda yoziladi:

Bu (9.1.15) tenglikning o‘ng tomonidagi funksiya Puasson yadrosi deb ataladi. Barcha 0 ≥ r ≥ 1 larda o'rinli bo'lgan (9.1.14) va (9.1.15) munosabatlar matematikaning turli tarmoqlarida muhim ahamiyatga ega. Misol tariqasida kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasini, analitik funksiyalar nazariyasini, xususiy hosilali tenglamalar uchun chegaraviy masalalar nazariyasini va garmonik tahlilni keltirish mumkin.

2 - eslatma. (9.1.12) ayniyatdan z = е^Ф ≠ 1 bo'lganda

tenglik kelib chiqadi. Bunda haqiqiy qismni ajratsak, quyidagi muhim munosabatga ega bo‘lamiz:

(9.1.16) tenglikning o‘ng tomonidagi kattalik Dirixle yadrosi deb atalib, trigonometrik funksiyalar nazariyasida asosiy rolni o'ynaydi.