Reja Sonli qator yig‘indisi tushunchasi Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar Ikki karrali qatorlar Sonli qator yig‘indisi tushunchasi

9.1.2 - misol. Geometrik progressiya hadlaridan tuzilgan quyidagi qatorni qaraymiz:

Agar |q| > 1 bo‘lsa, ravshanki. |qⁿ| > 1 bo‘ladi. Demak, bu holda 9.1.1 - tasdiqqa ko`ra, (9.1.4) qator uzoqlashadi. Agarda |q| > 1 bo'lsa, bu qatorning n-qismiy yig'indisi uchun

formula induksiya usuli orqali oson tekshiriladi. Shuning uchun. |q| < 1 bo;lganda (9.1.4) qator yaqinlashuvchi bo‘lib,uning yig'indisi

ga tengdir.

Navbatdagi tasdiq yaqinlashuvchi qator yig'indisi chiziqlilik xossasiga ega ekanini anglatadi.

9.1.2 - tasdiq. Agar

qatorlar yaqirdashsa, istalgan haqiqiy α va µ va sonlar uchun

qator ham yaqinlashadi va uning yigindisi

gа teng bo ‘ladi. Isbot ketma-ketlik limitining chiziqliligidan kelib chiqadi. Haqiqatan, agar S_n(a) simvol orqali ∑a_k qatorning qismiy yig'indilari ketma-ketligini, ∑b_k simvol orqali esa b_k qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligini belgilasak, (9.1.5) ning chap tomonidagi qator qismiy yig'indilari uchun

tenglikni olamiz.

Bu tenglikda, limit xossalaridan foydalanib, n oo deb limitga o‘tsak, talab qilingan (9.1.5) tenglikka ega bo'lamiz.

5. Sonli qatorlar nazariyasidagi eng asosiy masala berilgan qatorning

yaqinlashish yoki yaqinlashmasligini aniqlashdir. Navbatdagi shart qator yaqinlashishi uchun ham zaruriy, ham yetarli shart bo'lgani uchun uni kriteriy deb atashadi.

9.1.1 - teorema (Koshi kriteriysi). (9.1.1) sonli qator yaqinlashishi uchun istalgan € > 0 olganda ham shunday N = N(€) nomer topilib, n ≥ m ≥ N shartni qanoatlantiruvchi barcha natural m va n sonlar uchun




qator ham yaqinlashadi va uning yigindisi


gа teng bo ‘ladi.

Isbot ketma-ketlik limitining chiziqliligidan kelib chiqadi. Haqiqatan, agar S_n(a) simvol orqali ∑a_k qatorning qismiy yig'indilari ketma-ketligini, S_n(b) simvol orqali esa bk qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligini belgilasak, (9.1.5) ning chap tomonidagi qator qismiy yig'indilari uchun

tenglikni olamiz. Bu tenglikda, limit xossalaridan foydalanib, n → ∞ deb limitga o‘tsak, talab qilingan (9.1.5) tenglikka ega bo'lamiz.

5. Sonli qatorlar nazariyasidagi eng asosiy masala berilgan qatorning yaqinlashish yoki yaqinlashmasligini aniqlashdir. Navbatdagi shart qator yaqinlashishi uchun ham zaruriy, ham yetarli shart bo'lgani uchun uni kriteriy deb atashadi.

9.1.1 - teorema (Koshi kriteriysi). (9.1.1) sonli qator yaqinlashishi uchun istalgan € > 0 olganda ham shunday N = N(€) nomer topilib, n ≥ m ≥ N shartni qanoatlantiruvchi barcha natural

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.

Isbot (9.1.2) tenglik bilan aniqlangan Sn qismiy yig:indilar ketma-ketligi uchun Koshi kriteriysi va o‘z-o‘zidan ko'rinib turgan


tenglikdan bevosita kelib chiqadi. Eslatma. Modomiki Koshi kriteriysi qatoming dastlabki hadlariga

bog‘liq emas ekan, qatorning istalgan chekli sondagi hadlarini o‘zgartirish uning yaqinlashishiga ta’sir qdmaydi. Chunonchi, agar

(9.1.1) qator berilgan bo‘lsa, istalgan natural N soni uchun


ko'rinishdagi qatorlar (9.1.1) qator bilan bir vaqtda yaqinlashadi yoki uzoqlashadi.

6. Koshi kriteriysi berilgan qatorning yaqinlashishini aniqlash uchun nihoyatda samarali vositadir. Ammo amaliyotda yaqinlashishning tekshirish osonroq bo‘lgan turli yetarlilik shartlaridan ko‘proq

foydalaniladi. Shunday shartlar safiga, o‘rganilayotgan qatorni yaqinlashishi avvaldan ma’lum bo'lgan boshqa bir qator bilan solishtirishga asoslangan, taqqoslash alomatlari kiradi.

9.1.2 – teorema (taqqoslashning umumiy alomati). Ikki a_k va b_k haqiqiy sonlar ketma-ketligi

tengsizliklarni qanoatlantirsin.

U holda, agar

Qator yaqinlashsa

qator ham yaqiniashadi