Reja : Kirish. I bob. Vektor fazolar

2-t e o r e m a. Agar - evklid V fazosining chekli o`lchamli qismfazosi bo`lsa, u xolda ga tegishli bo`lmagan xar qanday x vektor yagona ortogonal proektsiyaga ega.
Isbot. ning biror ortonormal bazisini olamiz. U xolda

vektor x vektorning V₁ ga ortogonal proektsiyasidir. Xaqiqatan, xar bir uchun

Demak, . SHuning uchun xar qanday vektor uchun
Ortogonal proektsiyaning yagonaligi 1-teoremadan kelib chiqadi.
Vektorning cheksiz o`lchamli qismfazoga ortogonal proektsiyasi mavjud bo`lmasligi xam mumkin. Masalan, ma`lumki, fazoda evklid metrikasida e<sup>t</sup> uzluksiz funktsiyasiga eng yaqin bo`lgan ko`pxad mavjud emas. Bun-dan yo funktsiyasining ko`pxadlar qismfazosiga ortogonal proektsiyasi mavjud emasligi kelib chiqadi.
Misol ko`ramiz. Ushbu

ko`rinishdagi xar qanday funktsiya n darajali trigonometrik ko`pxad deb ataladi. Darajasi barcha trigonometrik ko`pxadlar fazoning o`lchamli T qismfazosini xosil qiladi. YUqorida ko`rilgan ushbu

tizim bu qismfazoning ortonormal bazisini xosil qiladi.
Agar funktsiya segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, u xolda 2-teoremaning isbotida ko`rsatilganiga ko`ra, uning qismfazoga ortogonal proektsiyasi (ya`ni evklid metrikasida bu funktsiyaga eng yaqin bo`lgan trigonometrik ko`pxad)

ko`pxaddir, bu erda

Bu tengliklar bilan aniqlangan va koeffitsientlar funktsiyaning Fur’e koeffitsientlari deyiladi.

2.3-§. Unitar fazolar
Unitar fazo - evklid fazosining kompleks ko`rinishi.
Ta`rif. Agar V kompleks chiziqli fazoda ikki vektor argumentli (x,y) kompleks qiymatli funktsiya uchun ushbu:
1)xar qanday uchun
2)xar qanday uchun
3)xar qanday uchun
4)xar qanday nol`dan farqli vektor uchun shartlar bajarilsa, u V kompleks chiziqli fazodagi skalyar ko`paytma deb ataladi. Skalyar ko`paytma aniq-langan V kompleks chiziqli fazo esa unitar deb ataladi.
Ravshanki, unitar fazoning xar qanday qismfazosi xam unitar fazo.
Ikkinchi va uchinchi shartlar skalyar ko`paytma birinchi argumenti bo`yicha chiziqli ekanligini ko`rsatadi. Bundan va birinchi shartdan ikkinchi argumenti bo`yicha 2-turchiziqli ekanligi, ya`ni

shartlarning xar qanday uchun bajarilishi kelib chiqadi (isbotlang). Bularga ko`ra, unitar fazodagi skalyar ko`paytma ermit formasi bo`lib, unga mos kvadratik forma musbat.
Misol ko`ramiz. Agar fazoda va skalyar ko`paytmani

tenglik bilan kiritsak, unitar fazoga aylanadi (tekshiring).
Evklid fazosidagi kabi unitar fazoda xam, Gram determinanti tushunchasi kiritiladi va vektorlar tizimi chiziqli erkli bo`lsa, ularning Gram determinanti musbat ekanligi va aks xolda - nol’ga teng ekanligi isbotlanadi. Bu teoremani ikkita vektordan iborat tizimga tatbiq qilib, unitar fazo uchun Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini olamiz. Unitar fazoda bu tengsizlikning ko`rinishi quyidagicha:

Unitar fazoda vektorning uzunligi xuddi evklid fazodagidek ta`riflanadi: uchun

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan V unitar fazoning xar qanday x,y vektorlari uchun tengsizlikning o`rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu evklid fazodagi kabi unitar fazoda ushbu tenglik orqali metrika kiritishga imkon beradi.
Unitar fazoda ikkita vevstor orasidagi burchak tushunchasi kiritilmaydi, am
mo ortogonallik tushunchasi kiritiladi: agar unitar fazodagi nol’dan farqli ikkita vektorning skalyar ko`paytmasi nol’ga teng bo`lsa, ular ortogonal deb ataladi. Ortogonal va ortonormal tizim tushunchalari xuddi evklid fazosidagidek kiritiladi.
Unitar fazoda ortonormal bazislarning mavjudligi ermit formalar xaqidagi teoremalardan bevosita kelib chiqadi. Agar V unitar fazoda ortonormal tizim berilgan va
Bu fazodagi vektorlar bo`lsa, evklid fazodagi kabi, ushbu

tengliklarni olamiz.
Bu paragrafdagi keltirilgan teoremalarning isbotlarini mustaqil bajarish tavsiya qilinadi.

_{Xulosa
Men kurs ishini yozish davomida quyidagilarni o’rgandim}