va samolyot. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak to'g'ri chiziq va uning tekislikka proektsiyasi natijasida hosil bo'lgan qo'shni ikki burchakning har qanday deyiladi (5.5-rasm).
Shakl 5.5
To'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lgan taqdirda, to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori va normal vektor tekislikka to'g'ri keladi. Shunday qilib, to'g'ri chiziq va tekislikning perpendikulyarligi sharti vektorlarning kollinearligi shartiga kamaytiriladi.
To'g'ri chiziq va tekislikning parallelligi holatida ularning yuqoridagi vektorlari o'zaro perpendikulyar. Shuning uchun, to'g'ri chiziq va tekislikning parallellik sharti perpendikulyar bo'lgan vektorlar holatiga tushiriladi; o'sha. ularning nuqta mahsuloti nolga teng yoki koordinatali shaklda:. Quyida 5-bob mavzusi bilan bog'liq muammolarni qanday hal qilish mumkinligiga misollar keltirilgan. 1-misol: Tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar A (1,2,4) nuqtadan o'tgan tekislikning tenglamasini tuzing:
Qaror: Keling, berilgan vektordan perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tgan tekislik tenglamasidan foydalanamiz. A (x-x 0) + B (y-y 0) + C (z-z 0) \u003d 0 Nuqta sifatida A (1,2,4) nuqtani olamiz, u orqali tekislik shartli ravishda o'tadi. To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini bilib, biz to'g'ri chiziqqa parallel vektorni bilamiz. Shart bo'yicha to'g'ri chiziq kerakli tekislikka perpendikulyar bo'lganligi sababli yo'nalish vektori tekislikning normal vektori sifatida qabul qilinishi mumkin.
Shunday qilib, tekislikning tenglamasi quyidagi shaklda olinadi: 2 (x-1) +1 (y-2) +4 (z-4) \u003d 0 2x + y + 4z-16 \u003d 0 2x + y + 4z-20 \u003d 0 2-misol: Samolyotda toping 4x-7y + 5z-20 \u003d 0 shunday P nuqta, buning uchun OP koordinata o'qlari bilan bir xil burchaklarni hosil qiladi. Qaror: Keling, sxematik rasm chizamiz. (5.6-rasm)
da
Shakl 5.6 Bo'sh nuqta koordinatalarga ega. Vektor koordinata o'qlari bilan bir xil burchaklarni yasaganligi sababli, bu vektorning yo'naltirilgan kosinuslari bir-biriga teng
Vektorning proektsiyasini topamiz:
u holda ushbu vektorning yo'naltirilgan kosinuslari osongina topiladi.
Yo'naltirilgan kosinuslarning tengligidan tenglik quyidagicha:
x p \u003d y p \u003d z p p nuqta tekislikda yotganligi sababli, bu nuqta koordinatalarini tekislik tenglamasida almashtirish uni identifikatsiyaga aylantiradi.
4x p -7x p + 5x p -20 \u003d 0 2x p \u003d 20 x p \u003d 10 Tegishli ravishda: y p=10; z p=10.
Shunday qilib, kerakli P nuqta P (10; 10; 10) koordinatalariga ega.
3-misol: Ikki nuqta A (2, -1, -2) va B (8, -7.5) berilgan. AB kesmasiga perpendikulyar bo'lgan B nuqtadan o'tgan tekislikning tenglamasini toping.
Qaror: Muammoni hal qilish uchun biz berilgan vektordan perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tgan tekislik tenglamasidan foydalanamiz.
A (x-x 0) + B (y-y 0) + C (z-z 0) \u003d 0 B (8, -7.5) nuqtani nuqta, vektorni esa tekislikka perpendikulyar bo'lgan vektor sifatida ishlatamiz. Vektorning proektsiyasini topamiz:
u holda tekislikning tenglamasi quyidagi shaklda olinadi:
6 (x-8) -6 (y + 7) +7 (z-5) \u003d 0 6x-48-6y-42 + 7z-35 \u003d 0 6x-6y + 7z-35 \u003d 0 6x-6y + 7z-125 \u003d 0 4-misol: OY o'qiga parallel va K (1, -5,1) va M (3,2, -2) nuqtalardan o'tuvchi tekislikning tenglamasini toping.
Qaror: Samolyot OY o'qiga parallel bo'lganligi sababli, biz tekislikning to'liq bo'lmagan tenglamasidan foydalanamiz.
Ax + Cz + D \u003d 0 K va M nuqtalar tekislikda yotganligi sababli biz ikkita shartni olamiz.
Ushbu shartlardan A va C koeffitsientlarini D ga nisbatan ifoda etamiz.
Topilgan koeffitsientlarni tekislikning to'liq bo'lmagan tenglamasiga almashtiramiz:
chunki, keyin biz D ni qisqartiramiz:
5-misol: M (7,6,7), K (5,10,5), R (-1,8,9) uch nuqtadan o'tgan tekislikning tenglamasini toping.
Qaror: Berilgan 3 nuqtadan o'tgan tekislik tenglamasidan foydalanamiz.
koordinatalarni almashtirish m, K, R nuqtalari birinchi, ikkinchi va uchinchi sifatida biz quyidagilarni olamiz:
determinantni 1-qator bilan ochamiz.
6-misol: M 1 (8, -3.1) nuqtalardan o'tuvchi tekislikning tenglamasini toping; M 2 (4,7,2) va tekislikka perpendikulyar 3x + 5y-7z-21 \u003d 0 Qaror: Keling, sxematik rasm chizamiz (5.7-rasm)
5.7-rasm Keling, berilgan R 2 tekislikni va kerakli R 2 tekislikni belgilaymiz. Berilgan P 1 tekislik tenglamasidan vektorning P 1 tekislikka perpendikulyar proyeksiyasini aniqlaymiz.
Parallel ko'chirish orqali vektorni R 2 tekisligiga o'tkazish mumkin, chunki masalaning shartiga ko'ra R 2 tekisligi R 1 tekisligiga perpendikulyar, ya'ni bu vektor R 2 tekisligiga parallel.
R 2 tekisligida yotgan vektorning proektsiyasini topamiz:
endi bizda ikkita vektor bor va R 2 tekisligida yotamiz. aniq vektor vektorlarning vektor hosilasiga teng va R 2 tekislikka perpendikulyar bo'ladi, chunki u perpendikulyar va shuning uchun uning normal vektori R 2.
Vektorlar va ularning proektsiyalari bilan berilgan, shuning uchun:
Keyinchalik, vektorga perpendikulyar bo'lgan berilgan nuqtadan o'tgan tekislik tenglamasidan foydalanamiz. Nuqta sifatida siz M 1 yoki M 2 nuqtalaridan istalganini qabul qilishingiz mumkin, masalan, M 1 (8, -3.1); R 2 tekislikka normal vektor sifatida olamiz.
74 (x-8) +25 (y + 3) +50 (z-1) \u003d 0 3 (x-8) + (y-3) +2 (z-1) \u003d 0 3x-24 + y + 3 + 27-2 \u003d 0 3x + y + 2z-23 \u003d 0 7-misol: To'g'ri chiziq ikki tekislikning kesishishi bilan aniqlanadi. Chiziqning kanonik tenglamalarini toping.
Qaror: Bizda quyidagi tenglama mavjud:
Nuqtani topish kerak ( x 0, y 0, z 0) bu orqali chiziq va yo'nalish vektori o'tadi.
Keling, o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz. Masalan, z \u003d 1, keyin ikkita noma'lum bo'lgan ikkita tenglama tizimini olamiz:
Shunday qilib, biz qidirilayotgan chiziqda yotgan nuqta topdik (2,0,1).
Kerakli to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori sifatida olamiz vektorli mahsulotlar vektorlari va, chunki normal vektorlar , bu kerakli to'g'ri chiziqqa parallel degan ma'noni anglatadi.
Shunday qilib, to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori proektsiyalarga ega. Berilgan vektordan parallel ravishda berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalanib:
Demak, talab qilingan kanonik tenglama quyidagi shaklga ega:
8-misol: Chiziq va tekislikning kesishish koordinatalarini toping 2x + 3y + 3z-8 \u003d 0 Qaror: To'g'ri chiziqning berilgan tenglamasini parametrik shaklda yozamiz.
x \u003d 3t-2; y \u003d -t + 2; z \u003d 2t-1 to'g'ri chiziqning har bir nuqtasi parametrning bitta qiymatiga mos keladi t... Parametrni topish uchun t to'g'ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasiga to'g'ri keladigan bo'lsa, biz ifodani samolyot tenglamasiga almashtiramiz x, y, z parametr orqali t. 2 (3t-2) + (- t + 2) +3 (2t-1) -8 \u003d 0 6t-4-3t + 6 + 6t-3-8 \u003d 0 t \u003d 1 keyin kerakli nuqtaning koordinatalari
kerakli kesishish nuqtasi koordinatalarga ega (1; 1; 1).
9-misol: Parallel chiziqlar orqali o'tadigan tekislikning tenglamasini toping.
Keling, sxematik rasm chizamiz (5.9-rasm)
5.9-rasm To'g'ri chiziqlarning berilgan tenglamalaridan biz ushbu to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining proektsiyalarini aniqlaymiz. P tekislikda yotgan vektorning proyeksiyalari va nuqtalarini topamiz va M 1 (1, -1,2) va M 2 (0,1, -2) to'g'ri chiziqlarning kanonik tenglamalaridan olamiz.
Parametrik tenglamalar to'g'ri chiziq elementar shaklga ega bo'lgan bu to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasidan olinadi. Parametr sifatida kanonik tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ko'paytirish mumkin bo'lgan qiymatni olaylik.
Nomzodlardan biri, albatta, nolga teng bo'lganligi va unga mos keladigan raqam har qanday qiymatni qabul qilishi mumkinligi sababli, parametr o'zgarishi oralig'i haqiqiy sonlarning butun o'qi:.
Biz olamiz yoki nihoyat
Tenglamalar (1) - bu to'g'ri chiziqning qidirilayotgan parametrli tenglamalari. Ushbu tenglamalar mexanik talqin qilinishi kerak. Agar parametr ma'lum bir boshlang'ich momentdan o'lchangan vaqt deb hisoblasak, u holda parametrli tenglamalar harakat qonunini aniqlaydi moddiy nuqta doimiy tezlikda to'g'ri chiziqda (bunday harakat inertsiya bilan sodir bo'ladi).
1-misol. Parametrik tenglamalarni nuqta orqali o'tuvchi va yo'naltiruvchi vektorga ega bo'lgan to'g'ri chiziq tekisligiga yozing.
Qaror. Biz berilgan nuqta va yo'nalish vektorini (1) ga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:
Ko'pincha muammolarda to'g'ri chiziqning parametrli tenglamalarini boshqa tenglamalarning turlariga, boshqa turdagi tenglamalardan esa to'g'ri chiziqning parametrli tenglamalarini olish talab etiladi. Keling, ushbu misollardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik. To'g'ri chiziqning parametrli tenglamalarini aylantirish uchun chiziqning umumiy tenglamasi birinchi navbatda ularni kanonik shaklga kamaytirish kerak, so'ngra kanonik tenglamadan chiziqning umumiy tenglamasini olish kerak
2-misol. To'g'ri chiziq tenglamasini yozing
umuman.
Qaror. Birinchidan, biz to'g'ri chiziqning parametrli tenglamalarini kanonik tenglamaga keltiramiz:
Keyingi transformatsiyalar tenglamani umumiy shaklga keltiradi:
Umumiy tenglamani to'g'ri chiziqning parametrli tenglamalariga aylantirish biroz qiyinroq, ammo bu harakat uchun ham aniq algoritm tuzishingiz mumkin. Avval umumiy tenglamani ayirboshlashingiz mumkin qiyalik tenglamasi va undan koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib, to'g'ri chiziqqa tegishli nuqta koordinatalarini toping. Nuqta va yo'nalish vektori koordinatalari ma'lum bo'lganda (umumiy tenglamadan), to'g'ri chiziqning parametrli tenglamalari yozilishi mumkin.
Quyidagi xossalarga ega ikkita 𝑂𝑥𝑦 va 𝑂𝑥1𝑦1 koordinatalar sistemasi berilgan: 𝑂𝑥 va 𝑂𝑥1 o’qlar hamda 𝑂𝑦 va 𝑂𝑦1 o’qlar parallel va bir xil yo’nalgan, 𝑂𝑥1𝑦1 koordinatalar sistemasi boshi 𝑂1 esa 𝑂𝑥𝑦 koordinatalar sistemasiga nisbatan ma’lum koordinatalarga ega 𝑂1 = 𝑂1 𝑎, . Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko’rinishga keltirish U holda ixtiyoriy M nuqtaning 𝑥, 𝑦 va 𝑥1, 𝑦1 koordinatalari quyidagicha bog’langan: (1) formula koordinatalar o’qini parallel ko’chirishda hosil bo’lgan koordinatalarni topish formulasi bo’ladi. Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko’rinishga keltirish 2. Aytaylik ikkita 𝑂𝑥𝑦 va 𝑂𝑥1𝑦1 koordinatalar sistemasi umumiy koordinatalar boshiga ega, 𝑂𝑥1 o’qi esa 𝑂𝑥 o’qi bilan 𝛼 burchak hosil qiladi. U holda ixtiyoriy M nuqtaning 𝑥, 𝑦 va 𝑥1, 𝑦1 koordinatalari quyidagicha bog’langan: Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko’rinishga keltirish (2) formula koordinatalar o’qlarini burishda hosil bo’lgan koordinatalarni topish formulasi bo’ladi. 3. 𝑥 va 𝑦 o’zgaruvchilarga nisbatan ikkinchi tartibli tenglamaning umumiy ko’rinishi quyidagicha: 𝐴𝑥 2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 3 Shunday 𝛼 burchak mavjudki, (3) tenglamani o’q atrofida 𝛼 burchakka burish formulasini quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin: 𝐴1𝑥1 2 + 𝐶1𝑦1 2 + 𝐷1𝑥1 + 𝐸1𝑦1 + 𝐹1 = 0 (4) Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko’rinishga keltirish Bunda Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko’rinishga keltirish Mos 𝛼 burchakni quyidagi tenglikdan topish mumkin: 4. (4) tenglama parallel ko’chirish yordamida kanonik ko’rinishga olib kelinadi. Shuni ham ta’kidlab o’tish joizki, kanonik ko’rinishga olib kelingan tenglamaning ohirgi ko’rinishi geometrik tasvirga ega bo’lmasligi
