Распределение Релея, Вейбулла и Парето и их применение

Свойства

1)Кумулятивная функция распределения

Из определения кумулятивная функция распределения случайной величины Парето с параметрами α и x_m

2) Функция плотности вероятности

3)Ожидаемое значение случайной величины после распределения Парето с α > 1

с α > 1 ( если α ≤ 1, то ожидаемое значение не существует)

4)Дисперсия
для a>2
(Если α ≤ 2, то дисперсия не существует.)
4) Исходные моменты
( но n-й момент существует только для n < α.)
5) Характеристическая функция задается

6) Производящая функция момента определяется
Пример
Предположим что месячное заработная плата работников (полный рабочий день) с минимальной месячной заплатой 1000$( x_m =1000) и коэфицент концентрации α= 3
Давайте рассчитаем
А)среднее месячную заработную плату (за 1 ставку тоесть за полную )
Б) Вычислить Вероятность Что он зарабатывает более 2000$ за полную ставку
В) Вычислить медиану( среднюю заработную плату )
Приступим к решение 1 вопроса А

1)Будем пользоваться с Ожидаемое значение случайной величины тоесть этой формулой с α > 1 ( если α ≤ 1, то ожидаемое значение не существует(бесконечнолсть))

Я буду использовать эту часть потому что у меня α > 1
тоесть =3
( x_m =1000)
Б)Для решения этой части задачи нам потребуется вот эта формула

Функция плотности вероятности

Тут у нас и будем иметь следующее если подставить

P(X>=2000 )=(1000/2000)^3=(0.5^3)=0.125
В) Для этого воспользуемся указанной формулой

Тут у нас получается что

= остуда получается что x=1259.92 Это средняя заплата (медиана) на полную ставку работника

На практике распределение Рэлея используется в различных приложениях, включая: