Даврий сигналлар спектори Бир хил вақт оралиғида қайтариладиган сигнални даврий сигнал деб атаган эдик.
(2.17)
n=1,2,3…
ифода даврий электр сигналини ифодалайди. Бу ифода даврий сигналларни дан гача бўлган вақт оралиғида аниқланган бўлишини кўрсатади.
Аммо даврий сигнални тўлиқ тавсифлаш учун унинг қайтарилиш даврига тенг вақт оралиғидаги қийматларини бериш етарли бўлади.
Чунки ҳар бир давр оралиғида ҳудди шу қийматлар қайтарилаверади.
Агар деб ҳисобласак нинг битта давр давомидаги қийматини Фуре қатори орқали кўрсатиш мумкин ва у аввалги парагрфдаги каби. (2.9)
кўринишида бўлади. Бу ҳолда формуланинг ўнг тарафи частоталари асосий частотага каррали бўлган гармоник тебранишларни қамраб олган бўлади.
Асосий частота (2.9)
формуладаги барча қўшилувчилар даврий функциялар. Демак бу қўшилувчиларнинг йиғиндиси ҳам даври га тенг даврий функсция бўлади.
Шундай қилиб агар даврий функция ўзининг даврига тенг вақт оралиғида Фурье қатори кўринишида берилган бўлса, бу Фуре қатори мазкур функсияни дан гача вақт оралиғида берилган бўлади ва қуйидагича ифодаланади.
(2.17)ʹ
Бу ерда , ва сигналнинг даврига тенг бўлган ихтиёрий вақт оралиғидаги қийматлари бўйича ҳисобланади.
амплитудалар тўплами амплитудалар спектри ёки содда қилиб сигнал спектри деб аталади.
лар тўплами эса сигналнинг фазалар спектри деб аталади. Даврий сигнал спектри дискрет бўлиб, у асосий частотанинг каррали қийматларига мос гармоникаларнинг алоҳида чизиқларидан ташкил топади. Яъни , ,… частоталарга мос гармоникалар амплитудасига мос алоҳида чизиқлардан иборат.
Мисол учун гармоник тебраниш спектрини кўрамиз. Бу сигналнинг амплитудаси , даври ва частотаси бўлсин.
Одатда спектрни график кўринишда берилишда обсисса ўқи бурчак частотанинг қийматида ордината ўқи бўйлаб гармоник ампилитудалари қийматлари қўйилади ёки фазалар қиймат қўйилади. Агар расмда тасвирланган сигнал дан гача вақт оралиғида Фурье функсияси орқали ифодаланган бўлса, у қуйидаги кўринишга эга бўлади
(2.18)
ҳол учун.
Бу сигнал учун спектр баландлиги кўрилаётган гармоник тебраниш амплитудасига тенг якка чизиқлар кўринишида тасвирланади. Бу спектр чизиқларининг жойлашиши тебраниш частотаси орқали белгиланади. Демак спектр чизиқларининг зичлиги тебраниш частотасига боғлиқ экан.
Частотаси = бўлган гармоник тебраниш учун спектр чизиқлари , ,… ларда жойлашади. Агар бўлса у ҳолда спектир чизиқлари , , ,… ларда жойлашади.
Хулоса: Гармоник тебранишларнинг частотаси қанчалик кичик бўлса, унинг спектр чизиқлари шунчалик зич жойлашади.
Энди гармоник бўлмаган даврий сигнални кўриб чиқамиз.
Тўғрибурчакли даврий сигнал ҳудди шундай даврий гармоник бўлмаган сигналдир. Бу сигналнинг даври , давомийлиги бўлсин.
Агар Фурье қаторини шакиллантириш учун дан
гача вақт оралиғини оладиган бўлсак функция қуйидаги қийматларга эга бўлиши мумкин
(2.19)
бўлганда.
Юқорида сигналнинг доимий ташкил этувчиси берилган вақт оралиғида сигналнинг ўртача қийматига тенг бўлади деган эдик.
Ҳозирги ҳолда биз вақт оралиғи сифатида сигнал даврига тенг вақт оралиғида бу сигнални кўраётганимиз учун
; (2.20)
нисбат даврий сигналнинг чуқурлиги (скаважность) деб аталади. Маъноси сигнал даври оралиғига давомийлиги бўлган нечта сигнал жойлашиши мумкинлигини кўрсатади. (2.16) формула ёрдамида коффитсиентларни ҳисоблаймиз.
(2.21)
Бу ерда сигнал бурчак частотаси
(2.22)
-сигналнинг ҳусусий частотаси
Демак сигнал гармоникалари амплитудалари қиймати
(2.23)
Бу гармоникалар фазалари
(2.24)
Ана энди биз ўрганаётган сигналимизни Фурье қатори кўринишида ифодалашимиз мумкин. Бунда кўрилаётган вақт оралиғи
дан гача
(2.25)
Бундай сигнал спектрининг аввалги кўрган гармоник сигналлар спектридан асосий фарқи, спектр чизиқларининг кўплиги билан фарқланади спектр чизиқлари оралиғи фақат сигналнинг қайтарилиш частотасига боғлиқ.
Амплитудалар спектр чизиқларини эгри чизиқ кўринишида туташтириш мумкин.
Бу чизиқ амплитудаларнинг спектрини туташтирувчи деб номланади.
Амплитудалар спектрининг кўриниши қуйдагича бўлади. (2.21); (2.23); (2.24) ифодалардан фойдаланиб спектр чизиқларини туташтирувчи математик ифодани ҳосил қилиш мумкин.
(2.27)
Бу тенгликдан фойдаланиб (2.25) формулани кўриб чиқаётган сигнал учун вақт оралиғида Фурье қатори кўринишида ёзиш мумкин.
(2.28)
Спектр чизиқларини туташтирувчи кўп япроқли кўринишга эга:
Биринчи япроқ дан частота оралиғи иккинчиси дан оралиғи ва ҳар бир кейингиси га каррали частоталар оралиғини эгаллайди. Кўриниб турибдики ҳар бир япроқ кенгликга эга бўлиб, ундаги спетр чизиқлари сони га боғлиқ. Биз юқорида ҳар бир спектр чизиғи оралиғИ га тенг деган эдик. Агар япроқ кенглигини чизиқлар оралиғига бўлсак спектр чуқурлиги деб номланувчи катталик хосил бўлади.
(2.29)
Бундан куйдагича хулосани чиқариш мумкин: ҳар бир япроқдаги спектр чизиқлари сони спектр чуқурлигига тенг бўлар экан. Демак тўғри бурчакли даврий сигнал спектри кўриниши спектр чуқурлиги қиймати билан белгиланади.
Биз чизган спектр расмида спектр чуқурлиги 5 га тенг экан. Агар бу сигнал учун Фурье қаторини ёзиб чиқсак у қуйдаги кўринишга эга бўлади
+(2.30)
Фурье қаторидаги гармоникаларнинг қанчалик кўп йиғиндисини олсак у берилган сигнални шунчалик аниқ тавсифлаган бўламиз.
