R. M. Turgunbaev matematik analiz


Ekstremum mavjud bo‘lishining yetarli shartlari



Download 1,58 Mb.
bet41/48
Sana13.06.2022
Hajmi1,58 Mb.
#661339
1   ...   37   38   39   40   41   42   43   44   ...   48
Bog'liq
R. M. Turgunbaev matematik analiz

3. Ekstremum mavjud bo‘lishining yetarli shartlari.
2-teorema. Faraz qilaylik f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz va x0 nuqta funksiyaning kritik nuqtasi bo‘lsin.

  1. Agar ∀x(x0-δ;x0) uchun f’(x)>0, x(x0; x0 +δ) uchun f’(x)<0 tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, ya’ni f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishida o‘z ishorasini «+» dan «-» ga o‘zgartirsa, u holda f(x) funksiya x0 nuqtada maksimumga ega bo‘ladi.

  2. Agar ∀x(x0-δ;x0) uchun f’(x)<0, x(x0; x0 +δ) uchun f’(x)>0

tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, ya’ni f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini «» dan «+» ga o‘zgartirsa, u holda f(x) funksiya x0 nuqtada minimumga ega bo‘ladi.

  1. Agar f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u

holda f(x) funksiya x0 nuqtada ekstremumga ega bo‘lmaydi.
Isboti. a) Holni qaraymiz. Bu holda ∀x(x0-δ;x0) uchun f’(x)>0 bo‘lishidan f(x) funksiyaning (x0 -δ; x0) da qat’iy o‘suvchiligi kelib chiqadi. So‘ngra shartga ko‘ra f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lgani sababli

(2.1)
x
tenglik o‘rinli. Demak, ∀x(x0 -δ; x0) uchun
f(x)0) (2.2)
bo‘ladi. ∀x(x0; x0 +δ) uchun f’(x)<0 bo‘lishidan f(x) funksiyaning (x0; x0 +δ) da qat’iy kamayuvchiligi kelib chiqadi. Demak, (2.1) tenglikni e’tiborga olsak, ∀x(x0;x0+δ) uchun yana (2.2) tengsizlik bajariladi. Bundan ∀xx0 va
x(x0-δ;x0+δ) uchun f(x)0) bo‘ladi, ya’ni f(x) funksiya x0 nuqtada maksimumga ega.
b) Bu holda f(x) funksiya x0 nuqtada minimumga erishishi (a) holga o‘xshash
isbotlanadi.
f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini o‘zgartirmaydigan (c) holda f(x) funksiya x0 nuqtaning (x0 -δ; x0 +δ) atrofida qat’iy o‘suvchi yoki qat’iy kamayuvchi bo‘ladi. Demak, x0 nuqtada ekstremum yo‘q.
Shunday qilib ekstremumga sinalayotgan nuqtani o‘tishda funksiya hosilasi ishorasining o‘zgarishi ekstremumga erishishning faqat yetarli sharti bo‘lib, lekin zaruriy sharti bo‘la olmaydi.
2-eslatma. Yuqoridagi mulohazalarda f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lishi muhim. Masalan, ushbu
f ( x ) = х4 , agar х 0, funksiyani qaraylik. Bu funksiya uchun f’(x)=4x3
1, agar х = 0 bo‘lib, hosila x=0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini «-» dan «+» ga o‘zgartirsa ham, berilgan funksiya x=0 nuqtada minimumga ega emas.
3-eslatma. x0 nuqtaning chap tomonidan o‘ng tomoniga o‘tganda hosila ishorasini o‘zgartirmasa ham bu nuqta ekstremum nuqtasi bo‘lishi mumkin.
Masalan, f ( x ) = x, x 1, funksiya uchun x=1 ekstremum

2 − x, x >1


(minimum) nuqta bo‘ladi. Haqiqatdan, x=1 ning (0;2) atrofidagi barcha nuqtalar uchun f(x)f(1)=-1 tengsizlik o‘rini bo‘ladi. Shu bilan birga x<1 va x>1 nuqtalar uchun f’(x)=-1<0, ya’ni hosila ishorasini o‘zgartirmaydi.
2-teoremadan funksiyaning ekstremumga tekshirish uchun 1-qoidani keltirib chiqaramiz.
1-qoida. f(x) funksiyaning ekstremumlarini topish uchun

  1. f(x) funksiyaning f’(x) hosilasini topib, f’(x)=0 tenglamani yechish kerak. So‘ngra f’(x) mavjud bo‘lmagan nuqtalarni topib, kritik nuqtalar to‘plamini hosil qilish kerak.

  2. har bir kritik nuqtadan chapda va o‘ngda hosilaning ishorasini aniqlash kerak.

  3. agar hosila ishorasini «+» dan «-» ga («-» dan «+» ga) o‘zgartirsa, u holda bu kritik nuqtada f(x) funksiya maksimumga (minimumga) ega bo‘ladi. Agar hosila ishorasi o‘zgarmasa, ekstremum mavjud bo‘lmaydi.

Misol. f ( x ) = ( x + 4 )3 (x 1)2 funksiyaning ekstremumini toping.

Yechish. Bu funksiya (-∞;+∞) oraliqda aniqlangan va uzluksiz. Uning hosilasini topamiz: f' +1) .
Ravshanki, hosila x=-1 nuqtada nolga aylanadi, x=1 nuqtada esa chekli hosila mavjud emas.
Endi hosilani ishorasini aniqlaymiz. Buning uchun (-∞;+∞) oraliqni 31rasmda ko‘rsatilgandek oraliqlarga ajratamiz va hosil bo‘lgan har bir oraliqda hosilaning ishorasini aniqlaymiz.

31-rasm

Bu chizmadan qoidaga ko‘ra berilgan funksiyaning x=-1 nuqtada maksimum qiymat f ( 1) = 33 4 ga va x=1 nuqtada minimum qiymat f(x)=0 ga ega bo‘lishini ko‘rish mumkin.

Download 1,58 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   37   38   39   40   41   42   43   44   ...   48




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish