R. M. Turgunbaev matematik analiz

3. Funksiyaning nuqtada monotonlik sharti.
Biz shu paytgacha funksiyaning o‘sishi va kamayishi tushunchalarini biror oraliqqa nisbatan kiritdik va o‘rgandik. Ba’zi hollarda bu tushunchalarni nuqtaga nisbatan qarash foydadan holi emas.
Faraz qilaylik f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan va x₀∈(a;b) bo‘lsin.
Ta’rif. Agar x₀ nuqtaning shunday (x₀-δ; x₀+δ) atrofi topilib, x₀ bo‘lganda f(x)₀) ( f(x)>f(x₀) ), x>x₀ bo‘lganda esa f(x)>f(x₀) ( f(x)₀) ) bo‘lsa, u holda f(x) funksiya x₀ nuqtada o‘suvchi ( kamayuvchi ) deyiladi.
Endi x₀ nuqtada monotonlikning yetarli shartini keltiramiz.
4-teorema. f(x) funksiya x₀∈(a;b) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. Agar f^’(x₀)>0 (f’(x₀)<0) bo‘lsa, u holda f(x) funksiya shu nuqtada o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘ladi.
Isboti. Shartga ko‘ra chekli f’(x₀) mavjud va u noldan katta (kichik) bo‘lgani uchun ushbu
lim f ( x ) − f ( x0 ) >0 (<0)
x→x₀ x − x₀
tengsizlik o‘rinli. Limitga ega bo‘lgan funksiyaning xossalaridan x₀ nuqtaning shunday (x₀-δ; x₀+δ) atrofi topilib, bu atrofda
f ( x )− f ( x₀ ) _> 0 (<0) x − x₀
tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, x₀ bo‘lganda f(x)₀) (f(x)>f(x₀)) tengsizlik, x>x₀ bo‘lganda esa f(x)>f(x₀) (f(x)₀)) tengsizlik ham o‘rinli. Bu f(x) funksiyaning x₀ nuqtada o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishini ifodalaydi. Teorema isbot bo‘ldi.
Funksiya hosilasi nolga teng bo‘ladigan nuqtalarda funksiya o‘sishi ham, kamayishi ham mumkin. Masalan, y=x⁵ funksiya hosilasi x=0 nuqtada nolga teng, lekin funksiya shu nuqtada o‘suvchi; y=-x⁵ funksiya hosilasi ham x=0 nuqtada nolga teng, lekin bu funksiya x=0 nuqtada kamayuvchi ekanligini ko‘rish qiyin emas.
Endi biror x₀ nuqtada o‘suvchi bo‘lgan funksiyaning shu nuqtaning atrofida o‘suvchi bo‘lishi shart emasligini ko‘rsatuvchi misol keltiramiz.
^x + x² sin ² , agar x ≠ 0,
Ushbu f ( x ) = _ x funksiya berilgan bo‘lsin. Bu funksiya
_0, agar x = 0
barcha nuqtalarda hosilaga ega. Haqiqatan ham, x_≠0 lar uchun
f'( x ) ₌1₊ 2xsin ² ₋ 2cos ² , x=0 uchun esa x x
f’(0)=lim x ⁺ x² sin 2^x ₌ lim(1₊ x ² ₎=1>0 bo‘ladi. sin
x→0 x x→0 x
Demak, 4-teoremaga asosan berilgan funksiya x=0 nuqtada o‘suvchi bo‘ladi.
Endi quyidagi
x_n = ¹_n , x^'_n =_π+²_2πn , n=±1, ±2, ±3, ... _π
nuqtalarda hosilaning qiymatlarini hisoblaymiz: f'  1  =1+ 2sinπn −2cos2πn = −1,

πn  πn

f' ^_ ^{2 }_ =1+ ⁴ sin(π+ 2_πn )−2cos(π+ 2_πn ) =1−2( −1) = 3

π+ 2πn  π+ 2πn

Demak berilgan funksiyaning hosilasi _δ>0 soni qanday bo‘lmasin n ning yetarlicha katta qiymatlarida (-δ; δ) atrofida ham musbat, ham manfiy qiymatlarni qabul qiladi. Bundan f(x) funksiyaning o‘zi x=0 nuqtada o‘suvchi bo‘lgani bilan bu nuqtaning ∀(-δ; δ) atrofida hosilaga ega, lekin shu atrofda monoton emasligi kelib chiqadi.
^x ₊ x² sin ² , agar x _≠ 0,
Yuqorida biz f(x)=_ x funksiya hosilasi
_0, agar x = 0
^1₊ 2xsin ² ₋ 2cos ² , agar x _≠ 0,
f’(x)= _ x x ekanligini ko‘rdik.
_1, agar x = 0
Shu hosilani uzluksizlikka tekshiraylik. Agar x_≠0 bo‘lsa, f’(x) funksiyaning uzluksizligi ravshan. Agar x=0 bo‘lsa, u holda lim f’(x) mavjud emas, demak hosila
x→0 x=0 nuqtada uzilishga ega.
O‘quvchilarga quyidagi teoremani isbotlashni taklif qilamiz:
Teorema. Agar x₀ nuqtada f(x) funksiya hosilasi mavjud, uzluksiz va f’(x₀)>0 bo‘lsa, u holda x₀ nuqtaning shunday (x₀-δ;x₀+δ) atrofi mavjud bo‘lib, bunda f(x) funksiya o‘suvchi bo‘ladi.
Savollar

1. 
   Kesmada uzluksiz funksiyaning doimiylik shartini ayting. Uning fizik ma’nosi nimadan iborat?
   
2. 
   Funksiyaning kesmada qat’iy o‘suvchi bo‘lishi shartini ayting.
   
3. 
   Funksiyaning kesmada qat’iy kamayuvchi bo‘lishi shartini ayting.
   
4. 
   [a;b] kesmada qat’iy monoton funksiya hosilasi shu kesmaning chekli sondagi nuqtalarida nolga teng bo‘lishi mumkinmi?
   

Misollar

1. 
   Ayniyatni isbotlang: arccos 1− x2 =  arcsin x, 0 ≤ x ≤1, − arcsin x, −1≤ x < 0.
   
2. 
   Ushbu a) y=x+cosx; b) y=x³+4x-7 funksiyalarning aniqlanish sohasida o‘suvchi ekanligini isbotlang.
   
3. 
   Quyidagi funksiyalarning monotonlik oraliqlarini toping:
   

a) y=2x³-15x²+36x-7; b) y=x²-lnx; c) y=x⁴-2x²+5.