R. M. Turgunbaev matematik analiz

2. Murakkab funksiyaning yuqori tartibli differensiallari.
Endi x argument biror t o‘zgaruvchining funksiyasi x=ϕ(t) bo‘lgan hol uchun yuqori tartibli differensiallarni hisoblash formulalarini keltirib chiqaramiz. Bu holda dx=_ϕ’(t)dt bo‘lganligi sababli, dx ni x ga bog‘liq emas deb bo‘lmaydi. Shu sababli ta’rif bo‘yicha (d²y=d(f’(x)dx)) hisoblaganda, d²y ni ikkita f’(x) va dx funksiyalar ko‘paytmasining differensiali deb qaraymiz.
Natijada d²y=d(f’(x)dx)=d(f’(x))dx+f’(x)d²x=(f’’(x)dx)dx+f’(x)d²x=f’’(x)dx²+f’(x)d²x, ya’ni d²y= f’’(x)dx²+f’(x)d²x (5.3)
formulaga ega bo‘lamiz.
Endi ikkinchi tartibli differensial uchun hosil qilingan (5.1) formula (5.3) formulaning xususiy holi ekanligini ko‘rsatish qiyin emas.
Haqiqatan ham, agar x erkli o‘zgaruvchi bo‘lsa, u holda d²x=x’’dx²=0_⋅dx²=0 bo‘lib, (5.3) formuladagi ikkinchi qo‘shiluvchi qatnashmaydi.
Uchinchi tartibli differensial uchun quyidagi
d³y=f’’’(x)dx³+3f’’(x)dxd²x+f’(x)d³x (5.4) formula o‘rinli ekanligini isbotlashni o‘quvchilarga taklif qilamiz.
Ikkinchi va uchinchi tartibli differensiallar uchun olingan formulalardan murakkab funksiyaning yuqori tartibli differensiallarini hisoblashda differensial formasining invariantligi buziladi. Boshqacha aytganda, ikkinchi va undan yuqori tartibli differensial formulalari ko‘rinishi x argument erkli o‘zgaruvchi yoki boshqa o‘zgaruvchining differensiallanuvchi funksiyasi bo‘lishiga bog‘liq bo‘ladi.
Savollar:

1. 
   Differensiallanuvchi funksiya qanday ta’riflanadi?
   
2. 
   Funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy va yyetarli sharti nimadan iborat?
   
3. 
   Differensial nima?
   
4. 
   Differensialning geometrik ma’nosi nimadan iborat?
   
5. 
   Differensial va hosila qanday tenglik bilan bog‘langan?
   
6. 
   Har qanday differensiallanuvchi funksiya uzluksiz bo‘ladimi?
   
7. 
   Har qanday uzluksiz funksiya differensiallanuvchi bo‘ladimi?
   
8. 
   «Differensial funksiya orttirmasining chiziqli qismi» degan iborani qanday tushuntirish mumkin?
   
9. 
   Differensial yordamida taqribiy hisoblashda nima ishlar bajariladi?
   

Misollar
1. Ta’rifdan foydalanib quyidagi funksiyalarning x nuqtada differensiallanuvchi ekanligini ko‘rsating va differensialini toping:
a) y=x³-2, b) y=x-3x², c) y=5+6x-x², d) y=3x³

2. 
   Agar a) y=x⁷, x=1, _∆x=0,1; b) y=2/x, x=2, _∆x=-0,1 bo‘lsa, (1.1) formuladagi A va α(∆x) larni toping.
   
3. 
   Ushbu
   

 2x, agar x < 0,
f(x)=^_0, agar 0 ≤ x ≤ 2,
^x − 2, agar x > 2
funksiyaning sonlar o‘qida uzluksiz ekanligini, lekin 0 va 2 nuqtalarda differensiallanuvchi emasligini isbotlang.

2. 
   Sonlar o‘qida uzluksiz, lekin ko‘rsatilgan nuqtalarda differensiallanuvchi bo‘lmagan funksiyalarga misollar keltiring:
   

a) x=3; b) x=-1, x=5; c) x=-2, x=0, x=2.
5. Quyidagi funksiyalarning birinchi va ikkinchi tartibli differensial- larini toping:

a) y=4x³-3x²+7; b) y=(2-³ x² )²; c) y=x³ x - ² ; d) y=e^-x+lnx; x

6. 
   Ushbu f(x)=2x²+ ₃³_x -5 funksiyaning x=8 nuqtada dx=0,1 bo‘lgandagi
   

differensialini hisoblang.

6. 
   Differensial yordamida quyidagi funksiyalarning berilgan nuqtalardagi qiymatini taqribiy hisoblang:
   

1) y= ³ x , a) x=65; b) x=125,1324; 2) y=sinx, a) x=29⁰, b) x=359⁰.
8. Radiusi R=8 sm bo‘lgan sharning radiusi 0,2 sm ga uzaytirilsa, sharning hajmi tahminan qanchaga o‘zgaradi?
III BOB