R. M. Turgunbaev matematik analiz

1− x²

9. d(arccosx)=- ¹ dx ( ₋1_< x _<1);

1− x²

10. 
    d(arctgx)= dx;
    
11. 
    d(arcctgx)=- dx .
    

2. Differensial topish qoidalari.
Funksiya differensiali ta’rifi va hosila topish qoidalaridan quyidagi tasdiqlarning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi:

1. 
   Chekli sondagi differensiallanuvchi funksiyalar yig‘indisining differensiali ularning differensiallari yig‘indisiga teng.
   

Masalan, ikki funksiya yig‘indisi uchun bu tasdiqni quyidagicha isbotlash mumkin: (I.4.1 ) formulaga ko‘ra d(u(x)+v(x))=(u(x)+v(x))’dx=(u’(x)+v’(x))dx==u’(x)dx+v’(x)dx =du+dv.

2. 
   Quyidagi d(u(x)⋅v(x))= v(x)⋅du+u(x)⋅dv formula o‘rinli.
   

Isboti. (I.4.2) va (2.2) formulalardan foydalanamiz.
d(u(x)⋅v(x))=(u(x)⋅v(x))’dx=(u’(x)⋅v(x)+u(x)⋅v’(x))dx=
=(u’(x)dx)⋅v(x)+u(x)⋅(v’(x)dx)= v(x)⋅du+u(x)⋅dv. v) Quyidagi d(Su(x))=Sdu formula o‘rinli.
g) Bщlinmaning differensiali uchun quyidagi
d( ( x ) dv
formula o‘rinli.
3. Differensial formasining invariantligi.
Aytaylik y=f(x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. Differensialning ta’rifiga ko‘ra dy=y_x’∆x, yoki erkli o‘zgaruvchining orttirmasini dx kabi yozishga kelishganimizni e’tiborga olsak, dy=y_x’dx edi.
Endi x erkli o‘zgaruvchi emas, balki t erkli o‘zgaruvchining differensiallanuvchi funksiyasi bo‘lsin: x=ϕ(t). U holda y=f(ϕ(t))=g(t) funksiya t o‘zgaruvchining murakkab funksiyasi va dy=y_t’dt tenglik o‘rinli bo‘ladi. Lekin y_t’=y_x’x_t’dt va dx=x_t’dt larni e’tiborga olsak, dy=y_x’dx formulaga ega bo‘lamiz, ya’ni differensialning avvalgi ko‘rinishiga qaytamiz.
Shunday qilib, differensial formasi o‘zgarmadi, ya’ni funksiya differensialining formasi x erkli o‘zgaruvchi bo‘lganda ham, erksiz (oraliq) o‘zgaruvchi bo‘lganda ham bir xil ko‘rinishda bo‘ladi: differensial hosila va hosila qaysi o‘zgaruvchi bo‘yicha olinayotgan bo‘lsa o‘sha o‘zgaruvchi differensiali ko‘paytmasiga teng bo‘ladi. Bu xossa differensial ko‘rinishning invariantligi deyiladi. Shuni aytib o‘tish lozimki, bu xossada faqat differensial formasining saqlanishi haqida gap boradi. Agar x erkli o‘zgaruvchi bo‘lsa, u holda dx=_∆x; x erksiz o‘zgaruvchi bo‘lsa, u holda, umuman olganda, dx≠∆x bo‘ladi.

Misol. y ₌ ³ x berilgan. 1) erkli x erkli o‘zgaruvchi bo‘lganda va 2) x=t⁵+t²-
3 bo‘lganda dy ni hisoblang.
Yechish. 1) (2.2) formulaga ko‘ra dy = 1 x− dx = dx
3 33 x2

2) Differensial formasining invariantlik xossasidan foydalansak, dy ₌ ^dx 33 x2
bo‘lib, dy ₌ ⁵ t ² −3) d(t⁵ ₊ t ² ₋3) ₌ 3³⁽(⁵t^t54+⁺t^22t−^)dt3)₂ ga ega bo‘lamiz.
3³ (t +