R. M. Turgunbaev matematik analiz

2.Differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy va yyetarli sharti
Teorema. f(x) funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun uning shu nuqtada chekli f’(x₀) hosilasi mavjud bo‘lishi zarur va yyetarlidir.
Isboti. Zaruriyligi. Funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda funksiyaning orttirmasiini (1.1) ko‘rinishda yozish mumkin. Undan ∆x≠0 da
^∆у = A +α( ∆x ) ni yozish mumkin. Bundan ^∆x^→0 ^{da lim ∆y} = A, demak x
_{∆x ∆x→0 ∆x} nuqtada hosila mavjud va f’(x)=A ekanligi kelib chiqadi.
Yyetarliligi. Chekli f’(x₀) hosila mavjud bo‘lsin, ya’ni ∆limx→0 ^∆∆^y = f'( x₀ ). U _x
holda ^∆yx = f'( x₀ ) +α( ∆x ), bu erda α(∆x) ∆x→0 da cheksiz kichik funksiya.
∆
Demak,
∆y=f’(x₀)⋅∆x+α(∆x)∆x (1.2)
yoki ∆y=A⋅∆x+α(∆x)∆x, bu erda A=f’(x₀). Shunday qilib x=x₀ nuqtada f(x) funksiya differensiallanuvchi va A=f’(x₀) ekan.
Bu teorema bir o‘zgaruvchili funksiya uchun differensiallanuvchi bo‘lish hosilaning mavjud bo‘lishiga teng kuchli ekanligini anglatadi. Shu sababli hosilani topish amali funksiyani differensiallash, matematik analizning hosila o‘rganiladigan bo‘limi differensial hisob deb ataladi.
Shunday qilib, avvalgi 1-ta’rif bilan ekvivalent bo‘lgan ushbu ta’rifni ham berish mumkin:
2-ta’rif. Agar f(x) funksiya x=x₀ nuqtada chekli f’(x₀) hosilaga ega bo‘lsa, u holda f(x) funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.