R. M. Turgunbaev matematik analiz

3. Differensialning fizik ma’nosi.
Moddiy nuqta s=f(t), bu erda s –bosib o‘tilgan yo‘l, t-vaqt,
f(t)-differensiallanuvchi funksiya, qonuniyat bilan to‘g‘ri chiziqli harakatlanayotgan bo‘lsin.
∆t vaqt oralig‘ida nuqta ∆s=f(t+∆t)-f(t) yo‘lni bosib o‘tadi. Yo‘lning bu orttirmasini
∆s=f’(t)∆t+α(∆t)∆t
ko‘rinishda ifodalashimiz mumkin. Bu yo‘lni nuqta biror o‘zgaruvchan tezlik bilan bosib o‘tgan. Agar _∆t vaqt oralig‘ida nuqta o‘zgarmas f’(t) tezlik, ya’ni t vaqtdagi tezligiga teng tezlik bilan harakatlandi desak, bu holda bosib o‘tilgan yo‘l f’(t)_∆t ga teng bo‘ladi. Bu esa yo‘lning differensialiga teng:
ds= f’(t)∆t.
3-§. Elementar funksiyalarning differensiallari. Differensial topish qoidalari. Differensial formasining invariantligi.
1. Elementar funksiyalarning differensiallari.
Elementar funksiyalarning hosilalarini bilgan holda ularning differensiallari uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:

1. 
   d(x^µ)=_µ⋅x^µ–1dx (x>0);
   
2. 
   d(a^x)=a^x_⋅lna dx (a>0,a_≠1);
   
3. 
   d(log_ax)= ¹ dx ( x _> 0,a _> 0,a _≠1);xususan, (ln x )' ₌ ¹ ( x _> 0 ). xlna x
   
4. 
   d(sinx)=cosxdx;
   
5. 
   d(cosx=-sinxdx;
   
6. 
   d(tgx)= cos12 x dx ( x ≠ π2 + kπ,k ∈Z );
   
7. 
   d(ctgx^)=- sin¹_{2 x} dx ( x ≠ kπ;k ∈Z ) ;
   
8. 
   d(arcsinx)= ¹ dx ( ₋1_< x _<1);