R. M. Turgunbaev matematik analiz


-§ Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari



Download 1,58 Mb.
bet32/48
Sana13.06.2022
Hajmi1,58 Mb.
#661339
1   ...   28   29   30   31   32   33   34   35   ...   48
Bog'liq
R. M. Turgunbaev matematik analiz

2-§ Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari


Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda , 0⋅∞, ∞-∞, 1,
00, 0 ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi engillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarining bayoni bilan shug‘ullanamiz.
1 . ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, x→0 da f(x)→0 va g(x)→0 bo‘lsa, f (x ) nisbat ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Ko‘pincha xa da g( x ) f ( x ) nisbatning limitini topishga qaraganda f' ( x ) nisbatning limitini topish g( x ) g' ( x )
oson bo‘ladi. Bu nisbatlar limitlarining teng bo‘lish sharti quyidagi teoremada ifodalangan.
1-teorema. Agar

  1. f(x) va g(x) funksiyalar (a-δ;a)(a;a+δ), bu erda δ>0, to‘plamda uzluksiz, differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy x uchun g(x)0, g‘(x)0;

  2. lim f ( x ) = lim g( x ) = 0;

xa xa

  1. hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz) lim f'( x ) =A xa g'( x )

mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti lim f ( x ) mavjud va xa g( x )
lim f ( x ) =lim f'( x ) (2.1) xa g( x ) xa g'( x )
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Har ikkala funksiyani x=a nuqtada f(a)=0, g(a)=0 deb aniqlasak, natijada ikkinchi shartga ko‘ra lim f(x)=0=f(a), lim g(x)=0=g(a) tengliklar o‘rinli
xa xa bo‘lib, f(x) va g(x) funksiyalar x=a nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Avval x>a holni qaraymiz. Berilgan f(x) va g(x) funksiyalar [a;x], bu erda xδ, kesmada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun a
bilan x orasida shunday c nuqta topiladiki, ushbu f ( x )f ( a ) = f'( c ) tenglik g( x )g( a ) g'( c )
o‘rinli bo‘ladi. f(a)=g(a)=0 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tenglikdan
f ( x ) = f'( c ) (2.2) g( x ) g'( c )
bo‘lishi kelib chiqadi. Ravshanki, a bo‘lganligi sababli, xa bo‘lganda ca bo‘ladi. Teoremaning 3-sharti va (2.2) tenglikdan lim f ( x ) =lim f'( x ) =A kelib xa g( x ) xa g'( x )
chiqadi.
Shunga o‘xshash, x holni ham qaraladi. Teorema isbot bo‘ldi.
Misol. Ushbu xlim→2 xln(2 +x32x310) limitni xisoblang.
Yechish. Bu holda f ( x ) = ln( x2 − 3), g( x ) = x2 + 3x −10 bo‘lib, ular uchun 1- teoremaning barcha shartlari bajariladi. Haqiqatan ham,

  1. lim f ( x ) = limln( x2 −3) = ln1= 0, lim g( x ) = lim( x2 +3x −10 ) = 0; x→2 x→2 x→2 x→2

  2. x , g'( x ) = 2x + 3, x ≠ ± 3;

  3. l imx→2 g'( x ) = limx→2 ( x2 − 32)(x2x + 3) = 0 bo‘ladi.

Demak, 1-teoremaga binoan limxxln2 +(x32x310) = 0.
2
1-eslatma. Shuni ta’kidlash kerakki, berilgan funksiyalar nisbatining limiti 3) shart bajarilmasa ham mavjud bo‘lishi mumkin, ya’ni 3) shart yyetarli bo‘lib, zaruriy emas.
Masalan, f x funksiyalar (0;1] da 1), 2) shartlarni
qanoatlantiradi va lim f ( x ) = lim( x sin 1 ) = 0, lekin x0 g( x ) x0 x
limx→0 gf''(( xx)) = limx→0( 2xcos 1x + sin 1x ) mavjud emas, chunki xn = 1n → 0 n→∞ da π
1 1 2( 1)n+1 ,
x
xn →0 n→∞ da esa
.
x 0 x x n→∞ π( 2n + ) 2 2
2
2-teorema. Agar [c;+) nurda aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo‘lib,

  1. (c;+∞) da chekli f’(x) va g‘(x) hosilalar mavjud va g‘(x)≠0,

  2. lim f ( x ) = 0, lim g( x ) = 0;

x→+∞ x→+∞

  1. hosilalar nisbatining limiti lim f'( x ) ( chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u x→+∞ g'( x )

holda funksiyalar nisbatining limiti lim f ( x ) mavjud va x→+∞ g( x )
lim f ( x )= lim f'( x ) (2.3) x→+∞ g( x ) x→+∞ g'( x )
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Umumiylikni saqlagan holda, teoremadagi c sonni musbat deb olish mumkin. Quyidagi х = 1 formula yordamida x o‘zgaruvchini t o‘zgaruvchiga t
almashtiramiz. U holda x→+∞ da t→0 bo‘ladi. Natijada f(x) va g(x) funksiyalar t o‘zgaruvchising f 1 va g1 funksiyalari bo‘lib, ular (0,1 ] da aniqlangan.

t   t c


Teoremadagi (2) shartga asosan lim f (1 ) = 0, lim g(1) = 0 bo‘ladi.
t→+0 t t→+0 t
Ushbu,
' ' ' '

  f 1t  =  f 1t  ⋅ xt' = − fx' 1t ⋅ t1 , g1t t = g1t x xt' = −g'x 1t ⋅ t12


  t   x  
munosabatlardan ( 0;1c ) intervalda ft' (1t ), gt' (1t ) hosilalarning mavjudligi kelib chiqadi. So‘ngra teoremaning 3) shartiga ko‘ra
lim t = lim x'( t12 ) = lim f' (x) ft' (1 ) f
t→+0 gt' t t x→+∞ g' (x)
Demak f 1 va g1 funksiyalarga 1-teoremani qo‘llash mumkin. Bunda

t   t


xlim→+∞ gf (( xx))= tlim→+0 f (11t )) e’tiborga olsak, (2.3) tenglikning o‘rinliligi kelib chiqadi. g(
t
Teorema isbot bo‘ldi.
ko‘rinishdagi aniqmaslik. Agar xa da f(x)→∞, g(x)→∞ bo‘lsa,
f ( x ) nisbat ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi. Endi bunday
g( x )
aniqmaslikni ochishda ham f(x) va g(x) funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko‘rsatadigan teoremani keltiramiz.
3-teorema. Agar

  1. f(x) va g(x) funksiyalar (a;∞) nurda differensiallanuvchi, hamda g‘(x)≠0,

  2. lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞,

x→∞ x→∞

  1. lim f'( x ) mavjud bo‘lsa, x→∞ g'( x )

u holda lim f ( x ) mavjud va lim f ( x )= lim f'( x ) bo‘ladi. x→∞ g( x ) x→∞ g( x ) x→∞ g'( x )
Isbot. Teorema shartiga ko‘ra lim f'( x ) mavjud. Aytaylik lim f'( x )=µ
x→∞ g'( x ) x→∞ g'( x )
bo‘lsin. U holda ∀ε>0 sonni olsak ham shunday N>0 son topilib, xN bo‘lganda µ (2.3)
tengsizliklar bajariladi. Umumiylikni cheklamagan holda N>a deb olishimiz mumkin. U holda xN tengsizlikdan x(a;) kelib chiqadi.
Aytaylik x>N bo‘lsin. U holda [N;x] kesmada f(x) va g(x) funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llanib quyidagiga ega bo‘lamiz:
f ( x ) f ( N ) = f'( c ) , bu erda N. g( x ) g( N ) g'( c )
Endi c>N bo‘lganligi sababli x=c da (2.3) tengsizliklar o‘rinli:
µ ,
bundan esa
µ
tengsizliklarga ega bo‘lamiz.
Teorema shartiga ko‘ra lim f ( x ) = ∞, lim g( x ) = ∞, f(N) va g(N) lar esa
x→∞ x→∞
chekli sonlar. Shu sababli x ning yyetarlicha katta qiymatlarida f ( x ) f ( N ) kasr g( x ) g( N ) f ( x ) kasrdan istalgancha kam farq qiladi. U holda shunday M soni topilib, xM
g( x )
larda µ-ε< f ( x )<µ+ε (2.4) g( x )
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Shunday qilib, ixtiyoriy ε>0 son uchun shunday M soni mavjudki, barcha xM larda (2.4) tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu esa lim f ( x )=µ ekanligini anglatadi. x→∞ g( x )
Teorema isbot bo‘ldi.
Yuqorida isbotlangan teorema xa (a-son) holda ham o‘rinli. Buni isbotlash uchun t= 1 almashtirish bajarish yyetarli.
х а
Misol. Ushbu lim ln x limitni hisoblang.
x→+∞ x
Yechish. f(x)=lnx, g(x)=x funksiyalar uchun 3-teorema shartlarini tekshiramiz: 1) bu funksiyalar (0,+) da differensiallanuvchi; 2) f’(x)=1/x g‘(x)=1; 3) lim f'( x ) = lim 1/ х =0, ya’ni mavjud. Demak, izlanayotgan limit ham x→+∞ g'( x ) x→+∞ 1 mavjud va lim ln x =0 tenglik o‘rinli.
x→+∞ x
3. Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar. Ma’lumki, lim f ( x ) = 0,
xa lim f ( x ) = ∞, bo‘lganda f(x)g(x) ifoda 0⋅∞ ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, xa uning quyidagi
f
kabi yozish orqali ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Shuningdek, lim f ( x ) = +∞, lim g( x ) = +∞, bo‘lganda f(x)-g(x) ifoda ∞-∞ xa xa ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uni ham quyidacha shakl almashtirib
f
f ( x ) g( x )
ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Ma’lumki, xa da f(x) funksiya 1, 0 va ∞ ga, g(x) funksiya esa mos ravshda , 0 va 0 intilganda (f(x))g(x) darajali-ko‘rsatkichli ifoda 1, 00, 0 ko‘rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun avval y=(f(x))g(x) ni logarifmlaymiz: lny= g(x)ln(f(x)). Bunda xa da g(x)ln(f(x)) ifoda 0⋅∞ ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi.
Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida 0⋅∞, ∞-∞, 1, 00, ∞0, ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochiщda, ularni yoki ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirib, so‘ng yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi.
2-eslatma. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning f’(x) va g‘(x) hosilalari ham f(x) va g(x) lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini qanoatlantirsa, u holda
lim f ( x ) = lim f'( x ) = lim f''( x )
xa g( x ) xa g'( x ) xa g''( x )
tengliklar o‘rinli bo‘ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo‘llanish mumkin bo‘ladi.
1
Misol. Ushbu limtgx x2 limitni hisoblang.

Download 1,58 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   28   29   30   31   32   33   34   35   ...   48




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish