Qalimov Sharapat

Tastiyiq. Teoremanin’ juwmag’in tomendegishe aytiw mumkin, yag’niy [a;b] segmentte sonday x₁ ha’m x₂ noqatlar tabiladi, f(x₁)= {f(x)}, f(x₂)= {f(x)} boladi (yag’niy f(x₁) - f(x) funksiyanin’ [a;b] segmenttegi en’ ulken mug’dari, f(x₂) bolsa en’ kishi mug’dari).

f(x) funksiya [a;b] da uzliksiz bolg’ani ushin Veyershtrasstin’ birinshi teoremasina ko’re f(x) [a;b] da shegaralang’an, demek aniq joqari ham aniq tomen shegaralarg’a iye:

{f(x)}=M , {f(x)}=m deylik.

Endi [a;b] da biran x₁ noqati ushin f(x₁)=M boliwin korsetemiz. Kerisinshesin ko’z aldimizg’a keltireyik, yag’niy barliq x [a;b] larda f(x)<M bolsin.

funksiyani duzip alayiq. (x) funksiya [a;b] segmentte uzliksiz, Veyershtrasstin’ birinchi teoremasina ko’re ol to’mennen shegaralang’an boladi, yag’niy sonday >0 san tabilip, (x)  boladi. Budan f(x)< M- bolip, M- f(x) funksiyanin’ joqari shegarasi ekenligi kelip shig’adi. Bul qarama-qarsiliq farazdin’ naduris ekenligin bildiredi.

Esletpe. Teoremadag’i har bir shart ahmiyetli bolip, ulardin’ biri orinlanbasa onin’ juwmag’ida da orinli bolmaslig’i mumkin.

Misali. f(x)=x-[x] funksiya ixtiyariy b 1 ushin [a;b] segmentte qiymatlar to`plami E(f)=[0;1) bolip, [a;b] da o`zinin’ joqari shegarasina erispeydi.