Практикум j практическое примщенше численных методов

rl⁴_U
—(а:) = f(x), 0 < х < I. (Ш
В этом случае задаются по два граничных условиях па концах отрезка. Н; пример, уравнение (13.6) дополняется условиями первого рода:

u(0) = ци	II to	(13.1
du /лЧ	II sTh 1^3	(13i

При формулировке других типов краевых задач для уравнения (13.6) в гр* ничных точках могут участвовать вторая и третья производные.

2. 
   Численные методы решения краевых задач
   

При построении вычислительных алгоритмов для приближенного решени краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений основнс внимание уделяется вопросам аппроксимации уравнений, краевых услови и условий сопряжения для задач с разрывными коэффициентами. Прове дится исследование точности приближенного решения в различных норма? обсуждаются особенности прямых методов решения сеточных уравнений дл рассматриваемого класса задач.
Аппроксимация краевых задач
Обозначим через и равномерную сетку, для простоты, с шагом h на интер вале [О,/]:
й = {х | х = Xi = ih, i = 0,1,..., JV, Nh = /},
причем и — множество внутренних узлов, а дш — множество граничных у: лов.
Б
du


{Xi) ■


h d²u


(Xi) + 0(h²


h dx 2 dx²
Тем самым левая разностная производная щ аппроксимирует первую нрои: водную du/dx с первым порядком (погрешность аппроксимации 0(h) в кал< дом внутреннем узле) при и(х) G С^(П). Аналогично для правой разиостпо производной получим

удем использовать безындексные обозначения, когда и = щ = и(х_{). Дл левой разностной производной имеем
Uj-Li — U{ du, _ч hd²u. _ч __/i9n
Для трехточечного шаблона (узлы x^-i,ж,,£*+1 ) можно использовать цен­тральную разностную производную:
u_i+i — Щ-1 du, . h² d³u, _ч
“s"-^ S^M+3 55^(t‘^{) + 0{}'‘⁾'
которая аппроксимирует производную dujdx со вторым порядком при и(х) G
С<³>(П).
Для второй производной d²u/dx² получим
и_х Ui^-i 2i^ Н- lij—i
= —— = w •
Этот разностный оператор аппроксимирует в узле х = х_{ вторую производ­ную со вторым порядком при и(х) G С(⁴)(0, /).
Для внутренних узлов сетки аппроксимируем дифференциальный оператор
Си = (к(х)^\ + q(x)u, х е (0,1) (13.9)
dx \ dx )
с достаточно гладкими коэффициентами и решением разностным оператором
Ьу = — (ау_х)_х Л-су, х G и. (13.10)
Для аппроксимации со вторым порядком необходимо выбрать коэффициенты разностного оператора так, чтобы
~
(13.11)
(13.12)
(13.13)

h'^{ai =} ^^{Xi)+0{h2)'
=
a>i+1 +
k(xi) + 0(h²),
Ci = q(xi) + 0{h²).
В соответствии с (13.13) положим, например, q = q(xi), а условиям (13.11), (13.12) удовлетворяют, в частности, следующие формулы для определения af.
GLi = 1/2 = k(Xi — 0.5 К),
ki—i + ki
Метод формальной замены дифференциальных операторов разностными мо­жет использоваться и при аппроксимации граничных условий. Для построе­ния разностных схем в задачах с разрывными коэффициентами необходимо ориентироваться на использование интегро-интерполяциопного метода (ме­тода баланса).
При построении разностных схем естественно исходить из законов сохранения (балансов) для отдельных ячеек разностной сетки. В уравнении (13.1) выде­лим контрольные объемы в виде отрезков .х*г_1/2 < х < .x*_i+i/2, где х'г-1/2 = (г — 1/2)h. Интегрирование уравнения (13.1) по контрольному объему дает
^xi+ 1/2 ^xi+ 1/2
qi+1/2 - Яг-1/2 + J q(x)u{x)dx = j f(x)dx.
^xi-l/2 ^xi —1/2
Для получения разностного уравнения из этого балансного соотношения необ­ходимо использовать те или иные восполнения сеточных функций. Само ре­шение будем искать в целых узлах (у(х), х = ж»), а потоки — в нолуцелых (q(x), х = x_i+i/₂). Это приводит нас к разностному уравнению
Ly = ip_у х € и, (13.14)
в
Q>i —


1 / dx
h J k(x)


(13.15)


^xi+1/2


котором оператор L определен согласно (13.10) с коэффициентами
П
^xi+1/2



^xi- 1/2" ■

равая часть уравнения (13.14) есть
Аналогично проводятся аппроксимации уравнения (13.1) и на неравномерных сетках.
Построение дискретных аналогов краевых задач для уравнения (13.1) может осуществляться на основе метода конечных элементов. Используя простей­шие кусочно-линейные элементы, представим приближенное решение в виде
N-1
у(х) = ^2 ViWi{x), (13.16)
г=1
г
Wi(x) =

' 0,
(х -Xi_i)//i, (x_i+1 - x)/h, 0,


X < ж»_1,
Xi-1 < х < Xi, Х{ ^ X ^
X ^ X i.

де пробные функции Wi(x) имеют вид
Коэффициенты разложения в методе Галеркина определяются из. системы линейных уравнений, которую мы получаем после умножении исходного урав­нения (13.1) на функцию Wi(x) и интегрирования по всей области. С учетом финитности пробных функций получим

Численные 1
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 3
Содержание 5
Программное обеспечение 9
Элементы языка 21
| ’G \\Vab\\Python\\Testl \\src ’ , ’C-\\Program Files \\ ■/ NetBeans 6 7\\python! ’ , ’С Д \ Windows\\system32\\ python26 zip ’ , ’C^YPytho^G^DLLs’ , /С \\Python26\\lib ’ , 39
Математический Python 44
I 3 .4.II. ■ 61
И 0 ] 61
vs = Е 104
= np.zeros((m), ’float’) for i in range(0, m): 115
Прямые методы линейной алгебры 160
Итерационные методы линейной алгебры 173
ъВ <А< 7₂в, Ъ > 0, (5.16) 179
Спектральные задачи линейной алгебры 185
Шп ^{уШ’^ук) = 1. 187
1||Й7б2ШШ&Ш 191
Нелинейные уравнения и системы 197
Задачи минимизации функций 206
/V) 207
Интерполирование и приближение функций 217
Численное интегрирование 228
Интегральные уравнения 239
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 252
= ^(/(Wi,r⁺¹) + /(*»,»”)). п = 0,1,... 253
-£ ^{= у}*' 1Г = И¹о < i < 100, 263
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений 265
М*)] = о, 266

1^Python Implementations — www.python.org/dev/implementations/

2^CPython — www.python.org/

3^Jython — www.jython.org/

4IronPython — http://ironpython.codeplex.com/

5^Package Index — http://pypi.python.org/pypi/

6^PythonEditors — http://wiki.python.org/moin/PythonEditors

7^eric4 IDE — http://eric-ide.python-projects.org/

8^PyScripter — http://code.google.eom/p/pyscripter/