Практикум j практическое примщенше численных методов

= fi{t,u_uu₂,...,u_m), t> О, (12.1)
щ
(12.2)

(0)=и°, i = 1,2,... ,гп.
С использованием векторных обозначений задачу (12.1), (12.2) можем запи­сать как задачу Копли для одного уравнения:
«(0) =
В
(12.4)



(12.3)

задаче Коши но известному решению в точке t — 0 необходимо найти из уравнения (12.4) решение при других t.

2. 
   Численные методы решения задачи Коши
   

Отмечаются классические методы Рунге—Кутта и многошаговые методы ре­шения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравне­ний, обсуждается специфика численного решения жестких систем.
Методы Рунге—Кутта
При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необхо­димыми свойствами гладкости.
При численном решении задачи (12.3), (12.4) будем использовать равномер­ную, для простоты, сетку по переменной t с шагом т > 0:
Ur = {t„ = пт, п = 0,1,...}.
Приближенное решение задачи (12.3), (12.4) в точке t = t_n обозначим у^п. Метод сходится в точке t_n, если \у^п - u(t_n)\ —» 0 при т —> 0. Метод имеет р-й порядок точности, если \у^п — u(t_n)\ = 0(т^р), р > 0 при т —» 0.
Простейшая разностная схема для приближенного решения задачи (12.3),

4. 
   е
   сть
   

При а — 0 имеем явный метод Эйлера и в этом случае разностная схема аппроксимирует уравнение (12.4) с первым порядком.
С
имметричная схема (а = 0, 5 в (12.5) имеет второй порядок аппроксимации. Эта схема относится к классу неявных — для определения приближенного решения на новом слое необходимо решать нелинейную задачу. Явные схемы второго и более высокого порядка аппроксимации удобно строить ориенти­руясь на метод предиктор-корректор. На этапе предиктора (предсказания) используется явная схема
а на этапе корректора (уточнения) — схема
Я.n + l П,п 1
= ^(/(Wi,r⁺¹) + /(*»,»”)). п = 0,1,...
Т Z
В
у^п+1 - у^п
Т


г=1


(12.6)

одношаговых методах Рунге—Кутта идеи предиктора-корректора реализу­ются наиболее полно. Этот метод записывается в общем виде
где
Ь = f{t_n + c_iT,yⁿ + T'£_/a_ijk_j), г = 1,2, (12.7)
3=1
Формула (12.6) основана на s вычислениях функции / и называется s-стадий­ной. Если a,ij = 0 при j > г имеем явный метод Рунге—Кутта. Если = О при j > г и ацф 0, то hi определяется неявно из уравнения
г—1
h = f(t_n + с_;т, У^п + tJ2 a^kj + Ta_uki).
3=1
О таком методе Ру иге—Кутта говорят как о диагонально-неявном.
Параметры с*, определяют вариант метода Рунге—Кутта. Используется следующее представление метода (таблица Бутчера):
(

	Cl	а и	&12	аь
А	с2	^а21	0-22	&2 а
ь*	Cs	а>а\	«s2	C'ss

Ь\ &2 ' * * bs


12.8)
Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге—Кутта четвертого порядка:
h=f(t_n,yⁿ), k₂ = f(t_n + ^T-,yⁿ + T^y
к₃ = f (t„ + у^п + ту), к₄ = f(t_n + т, у^п + ткз),
у^п+¹ — у^п 1
— т (A/'i + 2А?2 + 2/с₃ -К А,*₄).
т о
В компактном представлении (12.8) этого метода имеем
с

0	0	0	0	0
1 2	1 2	0	0	0
1 2	0	1 2	0	0
1	0	0	1	0

А Ъ*
1111 6 3 3 6
Применяя метод Рунге—Кутта (12.6), (12.7) к решению задачи Коши для уравнения
d
= т,


t > о,

u(t)
dt
получим
уП+1 _ _уп ₌ ^_тЬ.Д^ _{+ С}.Д
г=1
Правую часть можно рассматривать как квадратурную формулу для правой части равенства
t
w(t_n+l) - и
n+1
Исследование устойчивости используемых разностных схем при решении за­дачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений прово­дится чаще всего на модельном одномерном уравнении
^ = Xu, t > 0, (12.9)
где Л — комплексное число. Для конкретного численного метода рассматри­вается множество всех точек комплексной плоскости ц = тЛ, для которых имеет место устойчивость. Для явного метода Эйлера область устойчивости представляет круг единичного радиуса с центром в точке (—1,0). Метод на­зывается A-устойчивым, если область его устойчивости содержит полуплос­кость Re ц < 0. При Re Л < 0 устойчиво решение уравнения (12.9) и поэтому для этой задачи условие A-устойчивости означает абсолютную устойчивость (устойчивость при всех т > 0).
Многошаговые методы
В методах Рунге—Кутта в вычислениях участвуют значения приближенного решения только в двух соседних узлах у^к и у^п+1 — один шаг по переменной t.
Линейный га-шаговый разностный метод записывается в виде
1 т т
-E°‘Wⁿ⁺¹“^< = E^b‘/(*»+₁-»J'ⁿ⁺¹“ⁱ)> п = т-1,т... (12.10)
^Т i=0 г=0
Вариант численного метода определяется заданием коэффициентов а*, 5*, г = 0,1,..., га, причем а₀ ф 0. Для начала расчетов по рекуррентной формуле (12Л0) необходимо задать га начальных значений у⁰, т/¹,... , ?/^m_1.
Различные варианты многошаговых методов (методы Адамса) решения зада­чи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть получены на основе использования квадратурных фор­мул для правой части равенства
u(t_n+l) - u(t_n) = J f(t, u)dt. (12.11)
Для получения неявного многошагового метода используем для подынте­гральной функции интерполяционную формулу по значениям функции
пп+1 _ £(± „,п+1\ £п пп+1-m

Численные 1
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 3
Содержание 5
Программное обеспечение 9
Элементы языка 21
| ’G \\Vab\\Python\\Testl \\src ’ , ’C-\\Program Files \\ ■/ NetBeans 6 7\\python! ’ , ’С Д \ Windows\\system32\\ python26 zip ’ , ’C^YPytho^G^DLLs’ , /С \\Python26\\lib ’ , 39
Математический Python 44
I 3 .4.II. ■ 61
И 0 ] 61
vs = Е 104
= np.zeros((m), ’float’) for i in range(0, m): 115
Прямые методы линейной алгебры 160
Итерационные методы линейной алгебры 173
ъВ <А< 7₂в, Ъ > 0, (5.16) 179
Спектральные задачи линейной алгебры 185
Шп ^{уШ’^ук) = 1. 187
1||Й7б2ШШ&Ш 191
Нелинейные уравнения и системы 197
Задачи минимизации функций 206
/V) 207
Интерполирование и приближение функций 217
Численное интегрирование 228
Интегральные уравнения 239
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 252
= ^(/(Wi,r⁺¹) + /(*»,»”)). п = 0,1,... 253
-£ ^{= у}*' 1Г = И¹о < i < 100, 263
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений 265
М*)] = о, 266

Для интерполяционного метода Адамса (12Л2) наивысший порядок аппрок­симации равен га -f 1.
Для построения явных многошаговых методов можно использовать процеду­ру экстраполяции подынтегральной функции в правой части (12.11). В этом случае приближение осуществляется по значениям /^п, /^п-1,..., /^п+1_т и по­этому