Практикум j практическое примщенше численных методов

ехег -10.2.ру
import math as mt from gauss import gauss def f (x):
return - mt.log(x) / (1. - x) a = 0. b = 1.
for n in range(2, 9):
I = gauss(f, a, b, n) print ’n = ’, n, ’Integral = ’, I Iexact = mt.pi**2 / 6. print ’Exact value =’, Iexact
Относительно невысокая точность вычислений связана с особенностью подынтегральной функции при х —» 0.

4. 
   Задачи
   

Задача 10.1 Напишите программу для приближенного вычисления инте­грала от функции f(x) на интервале [а, Ь] с использованием составной квад­ратурной формулы Симпсона. Продемонстрируйте работоспособность про­граммы при вычислении интеграла
гж/2
1= ln(sin (x))dx
Jo
при различном числе узлов и сравните найденное приблилсенное значение с точным.
Задача 10.2 Рекуррентную квадратурную формулу трапеций (см. ynpaoic- нение 10.1) запишем в виде
1
R(n + 1,1) = -R(n, 1) + ^2 f(^a + (2* - 1 )h)h.
* i= 1
В
т <п.


R(n + 1, т + 1) = R(n + 1, т) +


R(n + 1, т + 1) - R(n + 1, т)
4^Ш - 1

методе Ромберга эти данные используются для уточнения приблиэюен- ного значения интеграла согласно рекуррентным соотношениям
Напишите программу для приближенного вычисления интеграла от функ­ции f(x) на интервале [а, Ь] методом Ромберга на основе рекуррентной квад­ратурной формулы трапеций. С использованием этой программы вычисли­те интеграл
^: f (4 x²)^1/2dx
Jo
при различных п и сравните найденное приблиэюенное значение с точным.
З
Xi = cos


(2 i + 1) 7г 2 (п + 1)


Ci =


7Г
П + 1 ’


0,1,...,71.

адача 10.3 Напишите программу для приблиэюенного вычисления инте­грала от функции (1 — x²)~¹^²f(x) на интервале [—1,1] с использованием квадратурная формула Гаусса— Чебышева, в которой для узлов и коэффици­ентов имеют место соотношения
С помощью этой программы вычислите интеграл
I — [ (sin(;c)) ^l/2dx
Jo
при различном числе узлов.
З
Рп(х) =


(-1)" dⁿ


2^Пп\ dx

адача 10.4 Узлы квадратурной формулы Гаусса для вычисления интегра­ла от функции /(;х) на интервале [—1,1] есть нули полиномов Леоюапдра
а
Ci


2 / dp_n+1
(1 — х?) V dx


(Xi)

для коэффициентов квадратурной формулы имеет место выражение
С учетом этих соотношений напишите программу для вычисления узлов и коэффициентов квадратурной формулы Гаусса—Jleoicandpa. Для нахоэюде- пия корней полиномов Леэюандра используйте метод Ньютона и начальные приблиэюения
(г + 3/4)7г .
^ « cos -г—, г = 0,1,п.
п + 0/2
С помощью этой программы рассчитайте параметры квадратурной фор­мулы Гаусса—Лeoicaudpa для п = 2,3,..., 8 и сравните эти результаты с данными в табл. 10.1.

Интегральные уравнения
Среди типичных интегральных уравнений можно выделить интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Для их приближенного решения приме­няется метод квадратур. Второй широко используемый класс методов реше­ния интегральных уравнений — различные варианты проекционных методов. Отдельно необходимо выделить интегральные уравнения с переменными пре­делами интегрирования — интегральные уравнения Вольтерра. Интеграль­ные уравнения Фредгольма первого рода являются характерным примером некорректных задач, для численного решения которых используются методы регуляризации.

Основные обозначения

К(х.	,*)	— ядро интегрального уравнения
	Л	— числовой параметр
hi II to	,n	— узлы квадратурной формулы
	a	— параметр регуляризации
	yk	— приближенное решение на к-й итерации
^(х), i = 1,2,...	,n	— линейно независимые координатные функции

1. 
   Задачи для Интегральных уравнений
   

Будем рассматривать одномерные интегральные уравнения, решение кото­рых есть и (ж), х е [а, Ь]. Линейное интегральное уравнение с постоянным¹¹ пределами интегрирования (уравнение Фредгольма) записывается в виде
д
(ИЛ)

(х)и(х) — А / K(x,s)u(s) = /(ж), х в [а,6], J а

где k(x,s) — ядро интегрального уравнения, g(x),f(x) — заданные функции, а Л — заданный или неизвестный числовой параметр.
Наибольшее внимание уделяется нахождению приближенного решения инте­грального уравнения Фредгольма второго рода:
и
(11.2)


(11.3)

(х) - A f K(x,s)u(s)ds = f(x), х е [а, 6]
Ja
при заданном Л.
При f(x) уравнение (11.2) есть однородное уравнение Фредгольма и(х)-Х К(х, s)u(s)ds = 0, х£ [а, 6],
Ja
которое всегда имеет тривиальное решение и(х) = 0. Те значения параметра Л, при которых уравнение (11.3) имеет ненулевое решение, называются харак­теристическими числами, а соответствующие ненулевые решения уравнения — собственными функциями (1/Л — собственные значения).
Линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид
/
(11.4)

K(x,s)u(s)ds = f(x), х £ [а, 6], J а
т.е. в общей записи (11.1) д(х) = 0 и А = —1. Принципиальные трудности приближенного решения этого уравнения порождены тем, что задача нахо­ждения решения интегрального уравнения первого рода является некоррект­но поставленной. Некорректность обусловлена, прежде всего, отсутствием устойчивости решения по отношению к малым возмущениям правой части уравнения (11.4).
Отдельного рассмотрения заслуживают интегральные уравнения с перемен­ными пределами интегрирования. Интегральное уравнение Вольтсрра второ­го рода записывается в виде
и(х) — A f K(x,s)u(s)ds = /(#), x£[a,b\. (11.5)
J а
По аналогии с (11.4), (11.5) для уравнения Вольтерра первого рода имеем
f K(x,s)u(s)ds = f(x), я€[а,6]. (11.6)
J а
В вычислительной практике рассматриваются и более общие зада¹!и для ин­тегральных уравнений, среди которых отметим прежде всего многомерные интегральные уравнения. Большое внимание уделяется разработке числен­ных методов для специальных классов интегральных уравнений. Отметим, в частности, интегральные уравнения с разностным ядром К(х — в).

2. 
   Методы решения интегральных уравнений
   

Выделены основные классы методов приближенного решения интегральных уравнений. Метод квадратур (механических квадратур) основан на замене интегралов конечными суммами с использованием квадратурных формул. В проекционных методах приближенное решение ищется в виде разложения по системе известных линейно независимых функций. Отмечаются особенности решения интегральных уравнений Вольтерра, кратко обсуждаются методы решения интегральных уравнений первого рода.
Интегральные уравнения Фредгольма второго рода
Будем рассматривать алгоритмы численного решения интегральных уравне­ний (11.2), считая заданным параметр Л. В основе метода квадратур лежит та или иная квадратурная формула. Пусть < х₂ < • • • < х_п — узлы, а Cj, i = 1,2,... , n — коэффициенты квадратурной формулы на отрезке инте­грирования [а, Ь]. При использовании квадратурной формулы
гЬ ⁷¹
/ 6{x)dx « ^2с_нв(х_{)
^Ja г=1
приближенное решение интегрального уравнения (11.2) определим из систе­мы линейных алгебраических уравнений
п
Vi - ^^2^c3^K(^xuSj)yj = i = l,2,...,n, (11.7)