Практикум j практическое примщенше численных методов

st = ’$у_2$’
sg =
pit.plot(t, r, sg, label=st) pit.legend(loc=0) pit.xlabel(’$t$’) pit.grid(True) pit.show()
Решении задачи при 50 шагах по времени и использовании симметричной схе­мы в = 0.5 (второй порядок точности) показано на рис. 12.2. Использование чисто неявной схемы в = 1 приводит к заметному уменьшению амплитуды колебаний.

3. 
   Задачи
   

Задача 12.1 Для контроля шага иитегргьрования при использовании явно­го метода Рунге—Кутта используется следующая процедура (метод Руте— Кутта—Фельберга). Сначала вычисляются следующие значения
h = f(t_n, у^п),
, ,/ 12 _n 1932 , 7200 _f 7296 , .
fe = /|«. + _i3r,i, _+шгк₁-— Гк_г + — т*,|,
,
ткл

_{w n} 439 _{f 0} , 3680 , 845
h = f[t_n + T,y +—гк₁-8тк_г + .—тк₃-_ш
, ,Л ¹ „ 8 , „ , 3544 , 1859 , 11 , Л
k₆ = f (t_n + - г, у - -ткг + 2 тк₂ - -—тк_{3 + ш}тк₄ - -Tk_s).
Затем ищется приблиэюенпое решение методом Рупге—Кутта четверто, порядка, когда
2
уП+1 _ _уп
5, 1408, 2197, 1,
216^{fcl +} 2565** ⁺ 4104 " 5^fc5'
Это решение сравнивается с более точным, которое мы получаем методо Рунге—Кутта пятого порядка точности:
1
у^П+1 _ уП
6 , 6656 , 28561, 9 , 2 ,
135 ^{kl +} 12825 ** ⁺ 56430 ^ 50 ** ⁺ 55
1
Оптимальная величина шага есть st, где
/4
₄2|j/ⁿ⁺¹ - j/ⁿ⁺¹|
а е — заданная допустимая погрешность приблиоюенного решения. Напиши те программу, которая реализует подобную стратегию контроля шага г времени для численного решения задачи Коши для системы обыкновеннь дифференциальных уравнений. Проведите численные эксперименты решет с различной точностью € задачг1
du
— = 1 + и², t > 0, и(0)=0.
dt
З
у^п+1 ~ У


1


= Y^fⁿ “^59/n_1 +³⁷ “ ⁹/ )>

адача 12.2 Напишите программу, которая реализует метод предиктор корректора:
=
уП₊1 _ _у
24(9/(t„+i,r⁺¹) + 19/^п - 5Г"¹ + Г-²).
С помощью этой программы решите задачу
du 1 dy о din , , _ч
=2/2“2/з, — =j/i+ay₂, = И-2/з(l/i“ с), 0 < t < 100,
0i(O) = l, ?у₂(0) = 1, 2/з (0) = 1
при a,b,c = 0.2,0.2,2.5 и а, Ь, с = 0.2,0.2,5.
Задача 12.3 Напишите программу для приближенного решения задачи Ко­ши для уравнения второго порядка
— = f(t,u), 0 <«<Г,
и(°) = «°, ^г(°)=^v°
м
етодом Штёрмера третьего порядка точности:
Используйте эту программу для решения задачи с правой частью f(t,u) = — si и (гг) при Т = Атг и начальных условиях и⁰ = 1 и v° = 0.
Задача 12.4 Напишите программу для приблиэюенного решения задачи Ко­ши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого поряди ка методом Гира четвертого порядка точности:
2
= /(*»+!, У**¹)-

Ьу^п+1 - 48у^п + 36г/^п_1 - 16у^п~² + 3у^п~³
12 г
С ее помощью найдите решение задачи
-£ ^{= у}*' 1Г = И¹о < i < 100,
2/i (0) = 2, 2/г(0) = О
при р = 50.

Краевые задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Наиболее важным классом краевых задач для обыкновенных дифференци­альных уравнений являются задачи для уравнения второго порядка. От­мечены основные подходы к построению дискретных аналогов краевых за­дач с различными граничными условиями. Рассмотрены вопросы сходимости приближенного решения к точному и вычислительной реализации на основе использования прямых методов линейной алгебры. Помимо уравнений второ­го порядка кратко обсуждаются краевые задачи для модельного обыкновен­ного дифференциального уравнения четвертого порядка. Основное внимание уделяется разностным методам приближенного решения краевых задач.

Основные обозначения
и — и(х), х Е [0, 1]	— неизвестная функция
0 .То, Х\, . . . , X/у — 1	— узлы сетки
h	— шаг равномерной сетки
С0	— множество внутренних узлов
дш	— множество граничных узлов
Н	— гильбертово пространство сеточных функций
(v)	— скалярное произведение в Н
INI	— норма в Я
Ух = {у(х + Л) - y(x))/h	— правая разностная производная в точке т
Ух = (у(х) ~ у(х - h))/h	— левая разностная производная в точке х
У- = \(Ух + Ух)	— центральная разностная производная в точке т
Ухх = (ух ~ ys)/h	— вторая разностная производная в точке х

1. 
   Краевые задачи
   

В качестве базового рассматривается обыкновенное дифференциальное урав­нение второго порядка
- ^+q^^u ~ ^Q (13.1)
с переменными коэффициентами
к(х) > к > 0, q(x) > 0.
Для однозначного определения неизвестной функции и(х) уравнение (13.1) дополняется двумя граничными условиями на концах отрезка [0, /]. Задавать­ся может функция, например, и(х) (граничное условие первого рода), поток
w
k(x)^f-(x) (граничное условие второго рода) или же их линейная dx
(x) =
комбинация (граничное условие третьего рода):

и(0) =	u(l) = Цг,	(13.2)
		(13.3)
du Ho)^{o) + °Mo) = i*u	nog k(^l) — (l) + 2u{l) = цг-	(13.4)

Эллиптические уравнения второго порядка, прототипом которых является уравнение (13.1), используются при моделирование многих физико-механичес­ких процессов.
В
М*)] = о,



= о,


X = X*,

задачах с разрывными коэффициентами (контакт двух сред) формулиру­ются дополнительные условия. Простейшие из них (условие идеального кон­такта) для уравнения (13.1) связывается с непрерывностью решения и потока в точке контакта х = х*:
где использованы обозначения
[s(z)] = 9{х + 0) - д(х - 0).
Отдельного рассмотрения заслуживают задачи с несамосопряженным опера­тором, когда, например,
- ix ^{+ у}(^х)^ + ч(.х)и^:= f(x), ⁰ <х<1. (13.5)
Уравнение конвекции-диффузии (13.5) является модельным при исследова­ние процессов в механике сплошной среды.
При описании деформаций пластин и оболочек, задач гидродинамики мате­матические модели включают эллиптические уравнения четвертого порядка.
Их рассмотрение необходимо начать с краевой задачи для обыкповеппо1 дифференциального уравнения четвертого порядка. Простейшим такой з< дачей является задача для уравнения