Практикум j практическое примщенше численных методов



Download 2,15 Mb.
bet78/83
Sana06.07.2022
Hajmi2,15 Mb.
#750238
TuriПрактикум
1   ...   75   76   77   78   79   80   81   82   83
Bog'liq
python

st = ’$у_2$’
sg =
pit.plot(t, r, sg, label=st) pit.legend(loc=0) pit.xlabel(’$t$’) pit.grid(True) pit.show()
Решении задачи при 50 шагах по времени и использовании симметричной схе­мы в = 0.5 (второй порядок точности) показано на рис. 12.2. Использование чисто неявной схемы в = 1 приводит к заметному уменьшению амплитуды колебаний.

  1. Задачи

Задача 12.1 Для контроля шага иитегргьрования при использовании явно­го метода Рунге—Кутта используется следующая процедура (метод Руте— Кутта—Фельберга). Сначала вычисляются следующие значения
h = f(tn, уп),
, ,/ 12 n 1932 , 7200 f 7296 , .
fe = /|«. + i3r,i, гк1-— Гкг + — т*,|,
,
ткл

w n 439 f 0 , 3680 , 845
h = f[tn + T,y +—гк1-8ткг + .—тк3-ш
, ,Л 1 „ 8 , „ , 3544 , 1859 , 11 , Л
k6 = f (tn + - г, у - -ткг + 2 тк2 - -—тк3 + штк4 - -Tks).
Затем ищется приблиэюенпое решение методом Рупге—Кутта четверто, порядка, когда
2
уП+1 _ уп
5, 1408, 2197, 1,
216fcl + 2565** + 4104 " 5fc5'
Это решение сравнивается с более точным, которое мы получаем методо Рунге—Кутта пятого порядка точности:
1
уП+1 _
уП
6 , 6656 , 28561, 9 , 2 ,
135 kl + 12825 ** + 56430 ^ 50 ** + 55
1
Оптимальная величина шага есть st, где
/4

42|j/n+1 - j/n+1|
а езаданная допустимая погрешность приблиоюенного решения. Напиши те программу, которая реализует подобную стратегию контроля шага г времени для численного решения задачи Коши для системы обыкновеннь дифференциальных уравнений. Проведите численные эксперименты решет с различной точностью € задачг1
du
= 1 + и2, t > 0, и(0)=0.
dt
З
уп+1 ~ У



1



= Y^fn 59/n_1
+379/ )>

адача 12.2
Напишите программу, которая реализует метод предиктор корректора:
=
уП+1 _ у
24(9/(t„+i,r+1) + 19/п - 5Г"1 + Г-2).
С помощью этой программы решите задачу
du 1 dy о din , , ч
=2/22/з, — =j/i+ay2, = И-2/з(l/i“ с), 0 < t < 100,
0i(O) = l, ?у2(0) = 1, 2/з (0) = 1
при a,b,c = 0.2,0.2,2.5 и а, Ь, с = 0.2,0.2,5.
Задача 12.3 Напишите программу для приближенного решения задачи Ко­ши для уравнения второго порядка
= f(t,u), 0 <«<Г,
и(°) = «°, ^г(°)=v°
м
етодом Штёрмера третьего порядка точности:

Используйте эту программу для решения задачи с правой частью f(t,u) = — si и (гг) при Т = Атг и начальных условиях и0 = 1 и v° = 0.
Задача 12.4 Напишите программу для приблиэюенного решения задачи Ко­ши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого поряди ка методом Гира четвертого порядка точности:
2
= /(*»+!, У**1)-


Ьуп+1 -
48уп + 36г/п_1 - 16уп~2 + 3уп~3
12 г
С ее помощью найдите решение задачи
= у*' 1Г = И1о < i < 100,
2/i (0) = 2, 2/г(0) = О
при р = 50.


Краевые задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений

Наиболее важным классом краевых задач для обыкновенных дифференци­альных уравнений являются задачи для уравнения второго порядка. От­мечены основные подходы к построению дискретных аналогов краевых за­дач с различными граничными условиями. Рассмотрены вопросы сходимости приближенного решения к точному и вычислительной реализации на основе использования прямых методов линейной алгебры. Помимо уравнений второ­го порядка кратко обсуждаются краевые задачи для модельного обыкновен­ного дифференциального уравнения четвертого порядка. Основное внимание уделяется разностным методам приближенного решения краевых задач.

Основные обозначения

и — и(х), х Е [0, 1]

неизвестная функция

0 .То, Х\, . . . , X/у1

— узлы сетки

h

— шаг равномерной сетки

С0

— множество внутренних узлов

дш

множество граничных узлов

Н

— гильбертово пространство сеточных функций

(v)

— скалярное произведение в Н

INI

— норма в Я

Ух = {у(х + Л) - y(x))/h

— правая разностная производная в точке т

Ух = (у(х) ~ у(х - h))/h

левая разностная
производная в точке х

У- = \(Ух + Ух)

центральная разностная производная в точке т

Ухх = х ~ ys)/h

— вторая разностная производная в точке х

  1. Краевые задачи

В качестве базового рассматривается обыкновенное дифференциальное урав­нение второго порядка
- +q^u ~ Q (13.1)
с переменными коэффициентами
к(х) > к > 0, q(x) > 0.
Для однозначного определения неизвестной функции и(х) уравнение (13.1) дополняется двумя граничными условиями на концах отрезка [0, /]. Задавать­ся может функция, например, и(х) (граничное условие первого рода), поток
w
k(x)^f-(x)
(граничное условие второго рода) или же их линейная dx
(x) =

комбинация (граничное условие третьего рода):

и(0) =

u(l) = Цг,

(13.2)







(13.3)

du
Ho)^{o) + °Mo) = i*u

nog
k(l) — (l) + 2u{l) = цг-

(13.4)






Эллиптические уравнения второго порядка, прототипом которых является уравнение (13.1), используются при моделирование многих физико-механичес­ких процессов.
В
М*)] = о,



= о,



X = X*,


задачах с разрывными коэффициентами (контакт двух сред) формулиру­ются дополнительные условия. Простейшие из них (условие идеального кон­такта) для уравнения (13.1) связывается с непрерывностью решения и потока в точке контакта х = х*:
где использованы обозначения
[s(z)] = 9 + 0) - д(х - 0).
Отдельного рассмотрения заслуживают задачи с несамосопряженным опера­тором, когда, например,
- ix + у(х)^ + ч(.х)и:= f(x), 0 <х<1. (13.5)
Уравнение конвекции-диффузии (13.5) является модельным при исследова­ние процессов в механике сплошной среды.
При описании деформаций пластин и оболочек, задач гидродинамики мате­матические модели включают эллиптические уравнения четвертого порядка.
Их рассмотрение необходимо начать с краевой задачи для обыкповеппо1 дифференциального уравнения четвертого порядка. Простейшим такой з< дачей является задача для уравнения

Download 2,15 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   75   76   77   78   79   80   81   82   83




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish