Практическая работа №1 Построение и оценка интерполяционных полиномов Ньютона I и II интерполирование функций

Практическая работа №1
Построение и оценка интерполяционных полиномов Ньютона I и II
Интерполирование функций
Цель работы
Научиться применять интерполирование функции для решения практических задач, овладеть навыками применения интерполяционных формул Лагранжа заданной степени, многочленов Ньютона. Научиться оценивать погрешности интерполяционных формул и работать в программных пакетах с целью проверки полученных результатов.
Основные теоретические положения
Пусть значение f(x)f(x) известно в некоторых точках X={xj}nj=0X={xj}j=0n, и необходимо найти f(xi)f(xi): xi∉Xxi∉X. Для этих целей, функцию f(x)f(x) приближают функцией Ln(x)Ln(x):Ln(x)=n∑k=0akφk,Ln(x)=∑k=0nakφk,где φφ – произвольный базис, удобный для данной f(x)f(x). Задача интерполяции – найти обобщённый многочлен. Существует несколько способов нахождения, например, метод Лагранжа. Он даёт готовый интерполяционный многочлен Лагранжа:Ln(x)=n∑i=0fiℓi(x),Ln(x)=∑i=0nfiℓi(x),где fi=f(xi)fi=f(xi) – значение функции в узле xixi, аℓi(x)=n∏k=0k≠ix−xkxi−xkℓi(x)=∏k=0k≠inx−xkxi−xk– ii-ый базисный полином.
Если узлы, в которых определено значение f(xi)f(xi) являются равноотстоящими, т.е. xi=x0+ihxi=x0+ih, x0Многочлен Чебышёва первого рода Tn(x)Tn(x) характеризуется как многочлен степени nn со старшим коэффициентом 2n−12n−1, который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке [−1,1][−1,1]Tn(x)=cos(narccosx).Tn(x)=cos⁡(narccos⁡x).Для натурального nn узлы на промежутке x∈[−1,1]x∈[−1,1] задаются формулой:xk=cos(π2k−12n),k=1..n.xk=cos⁡(π2k−12n),k=1..n.Это корни многочлена Чебышёва первого рода степени nn.
Для получения узлов на произвольном отрезке [a,b][a,b], можно применить следующую формулу:xk=a+b2+b−a2cos(π2k−12n),k=1..n.xk=a+b2+b−a2cos⁡(π2k−12n),k=1..n.После нахождения интерполяционного многочлена, необходимо вычислить и оценить его погрешность. Должно выполнятся следующее неравенство:maxx∈[a,b]|Rn(x)|⩽Mn+1(n+1)!maxx∈[a,b]|ωn+1(x)|=Qn,maxx∈[a,b]|Rn(x)|⩽Mn+1(n+1)!maxx∈[a,b]|ωn+1(x)|=Qn,где [a,b][a,b] – промежуток интерполирования, Rn(x)=f(x)−Ln(x)Rn(x)=f(x)−Ln(x), Mn+1=maxη∈[a,b]|f(n+1)(η)|Mn+1=maxη∈[a,b]|f(n+1)(η)|, ωn+1(x)=n∏j=0(x−xj)ωn+1(x)=∏j=0n(x−xj). Левая часть неравенства является практической погрешностью, а правая – теоретической.