Подземная гидравлика

л:->сс, у-*оо

2. 
   На внутренней границе:
   

6. 
   постоянное давление на забое скважины (радиус скважины г_с)
   

р (гс, t) = p_c = cons t; (3.42)

7. 
   постоянный дебит. Это условие при выполнении закона Дарси можно представить следующим образом:
   

Q = ш, со = ——— 2 nr_ch = const, ц дг
при r = r_c, (3.43)
dr 2 nkh г > v /
где 2nr_ch — площадь боковой поверхности скважины; Л — тол­щина пласта;

8. 
   переменное давление на забое скважины
   

Р(гс, t) = f₂(t) при г = г_с; (3.44)

9. 
   переменный дебит
   

_rj£_₌f_a(t) при г = г_с; (3.45)
or

10. 
    отключение скважины
    

г-^-= 0 при г — г с- (3.46)
дг
В последующих главах будут рассмотрены задачи, которые ре­шаются с использованием граничных условий 1—10, причем ос­новными условиями, которые встретятся в курсе, будут условия постоянства давления на конечном и бесконечно удаленном кон­туре питания (1 и 5), а также постоянства давления и дебита на стенке скважины (6 и 7).
Глава 4
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
§ 1. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ЗАКОНУ ДАРСИ
Выведем дифференциальное уравнение установившейся фильтра­ции несжимаемой жидкости по закону Дарси на основе уравнения неразрывности, уравнений движения и уравнений состояния жид­кости и пористой среды.
В рассматриваемом случае без учета деформации пористой среды (р = const, т = const) уравнение неразрывности (3.3) принимает вид
Уравнения установившегося движения жидкости по закону Дарси в поле силы тяжести, как установлено в гл. 3, имеют вид
k dp k dp k / др , \
w_x = f-i Wy = w_z = (-T-+fW)-

ПОДЗЕМНАЯ ГИДРАВЛИКА 2
_ [ ₊ j _{dxdydzdt (}з. j) 41
\ j X 55
' i ⁴ 55

(4.3)
и подставляя их величины в уравнение, неразрывности (4.1), полу­
чаем
(Я V дх² ду² дг² )
откуда

ПОДЗЕМНАЯ ГИДРАВЛИКА 2
_ [ ₊ j _{dxdydzdt (}з. j) 41
\ j X 55
' i ⁴ 55

Уравнение (4.4) является дифференциальным уравнением уста­новившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси в недеформируемой пористой среде и носит название уравнения Лапласа.
В теории фильтрации оказывается удобным ввести функцию Ф (х, у, г), называемую потенциалом скорости фильтрации и опре­деляемую как

ПОДЗЕМНАЯ ГИДРАВЛИКА 2
_ [ ₊ j _{dxdydzdt (}з. j) 41
\ j X 55
' i ⁴ 55

Таким образом, потенциалом скорости фильтрации называется функция Ф (х, у, г), производная которой с обратным знаком вдоль линии тока равна скорости фильтрации w [х, у, г).
Продифференцировав уравнения (4.7) по координатам и под­ставив значения производных скорости фильтрации в уравнение неразрывности (4.1), получим
= (⁴-⁸)
дх² ду² дг²
т. е. потенциал скорости фильтрации Ф так же, как и давление р, удовлетворяет уравнению Лапласа. Функции р (х, у, г) и Ф (х,
у, z), удовлетворяющие уравнению Лапласа, являются непрерыв­ными, имеющими непрерывные частные производные первого и вто­рого порядка, и называются гармоническими.
Решения уравнения Лапласа как решения линейного однород­ного дифференциального уравнения, имеют следующие свойства:

1. 
   сумма частных решений есть также решение этого уравнения;
   
2. 
   произведение частного решения на произвольную постоян­ную есть также решение этого уравнения.
   

Пусть, например, р_ъ р₂ р_п являются решениями урав­нения (4.4). Тогда функция
Р = Е CiPt*
1=1
где С{ — константы, также удовлетворяет уравнению (4.4).
Указанные свойства приводят к принципу суперпозиции, ши­роко используемому при решении разнообразных задач подземной гидродинамики, сводящихся к уравнению Лапласа
§ 2. ОДНОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ОДНОРОДНЫХ ПЛАСТАХ
Одномерным называется фильтрационный поток жидкости, в ко­тором скорость фильтрации и напор являются функциями только одной координаты, отсчитываемой вдоль линии тока.
К одномерным относятся следующие потоки.

1. 
   Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток.
   
2. 
   Плоскорадиальный фильтрационный поток.
   
3. 
   Радиально-сферический фильтрационный поток.
   

Приведем краткое описание этих потоков. •

1. 
   Предположим, что при фильтрации жидкости траектории ¹ всех частиц жидкости являются параллельными прямыми, а ско­рости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпенди­кулярного к линиям тока) сечения потока равны друг другу. За­коны движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока совершенно одинаковы, а потому достаточно изучить дви­жение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за ось координат — ось х (рис. 4.1).
   

Прямолинейно-параллельный поток имеет место:
а) в лабораторных условиях при движении жидкости или газа через цилиндрический керн или через прямую трубу постоянного диаметра, заполненную пористой средой;
б) на отдельных участках продуктивного пласта при притоке жидкости к батарее скважин, если пласт постоянной толщины имеет в плане форму прямоугольника (рис. 4.2). При эксплуатации' прямолинейной батареи равнодебитных скважин А А' в пласте по­стоянной толщины h и постоянной ширины В, изображенном схе­матично на рис. 4.2, при постоянных давлениях на забоях сква­жин р_т и на контуре питания р_к приток жидкости к скважинам бу­дет прямолинейно-параллельным (за исключением ближайшей к скважинам зоны, где линии тока будут искривляться).
Если уплотнить сетку скважин в батарее (заменить батарею сплошной прямолинейной выработкой — галереей), то движение жидкости к галерее будет строго прямолинейно-параллельным.

2. 
   П
   А
   Рк
   
   
   Рис. 4.2. Схема прямолиней­но-параллельного потока жид­кости к батарее скважин
   редположим, имеется горизонтальный пласт постоянной толщины и неограниченной протяженности. В нем пробурена одна скважина, вскрывшая пласт на всю толщину и имеющая открытый забой