Подземная гидравлика

n₂ = i₀d/(\iw), (2.29)
так что соотношение (2.29) записывается для таких жидкостей в виде
grad р = — Ф₂ , m'j. (2.30)
k \ ]XW )
Переходя в соотношении (2.30) к абсолютным величинам, на­ходим

1. 
   gradр| = -^-Ф₂ , tn\. (2.31)
   

k V /
Заметим теперь, что если мы будем устремлять скорость филь­трации к нулю, то в пределе должна получиться величина гра­диента давления, не равная нулю, как в случае ньютоновской жид­кости, а конечная. Эта величина называется предельным гради­ентом давления у. Поскольку предельный градиент давления от
скорости w не зависит, ясно, что при w -*■ 0, т. е. при больших значениях параметра т₀d/[iw, функция Ф₂ должна быть пропор­циональна этому параметру:
Ф_а«б(т)^-. (2.32)
IXW
Отсюда предельный градиент давления представляется в виде у = _|₌-Фз (ш), (2.33)
а закон фильтрации рассматриваемой неньютоновской жидкости (такие жидкости называются вязкопластичными) принимает вид
—*■
gradp=—w—у — . ш>0; k w
(2.34)
| grad p | < y, w = 0.

В нефтяной подземной - гидравлике этот закон был применен А. X. Мирзаджанзаде.
В последующих главах (см. гл. 6, 7) теория размерностей ис­пользуется при выводе законов распределения давления для не- установившейся фильтрации упругой жидкости и газа.
Глава 3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ФЛЮИДОВ В НЕФТЕГАЗОНОСНЫХ ПЛАСТАХ
§ 1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Для процессов, происходящих в нефтяных и газовых пластах, за­висимость от времени существенна. Такие процессы называются неустановившимися (нестационарными). Характеристики движе­ния — давление, скорость фильтрации и т. д.— изменяются в пласте от точки к точке; говорят поэтому, что они образуют поле. Для не- установившихся процессов элементы поля изменяются с течением времени. Задачи неустановившегося движения жидкости и газа в пласте решаются методами математической физики. Для этого составляются и интегрируются дифференциальные уравнения.
Чтобы вывести дифференциальные уравнения, в пористой среде, заключающей в себе движущийся флюид (жидкость, газ), выде­ляется бесконечно малый элемент и затем рассматриваются изме­нения массы, энергии и т. д., происходящие в нем за бесконечно малый промежуток времени. При этом используются законы со­хранения массы, энергии и т. д., а также дополнительные резуль­таты экспериментального изучения свойств и поведения флюидов в пористой среде и свойств пористой среды.
Число уравнений в системе (дифференциальных и конечных) должно равняться числу неизвестных функций, характеризующих рассматриваемый фильтрационный процесс и подлежащих опреде­лению. Такая система называется замкнутой.
В этой главе ограничимся рассмотрением процессов, для ко­торых температура флюида равна температуре среды и неизменна: Т = const. Действительно, вследствие того что фильтрация пред­ставляет собой очень медленный процесс, изменение температуры, возникающее в ходе движения вследствие наличия сопротивления и расширения вещества, успевает компенсироваться теплообменом с окружающими горными породами. Для таких изотермических процессов уравнения энергии рассматривать уже не нужно. Однако в некоторых случаях при разработке нефтяных и газовых место­рождений неизотермичность фильтрации проявляется локально в призабойной зоне скважин вследствие значительных перепадов давления. Изучение неизотермических процессов имеет особо важ­ное значение в связи с повышением нефтеотдачи при закачке в пласт теплоносителя (горячей воды, пара). Особенности этих процессов будут рассмотрены в гл. 10.
В число дифференциальных уравнений фильтрации обязательно входят уравнение баланса массы в элементе пористой среды — уравнение неразрывности, а также дифференциальные уравнения движения. Для замыкания системы дополнительно вводятся урав­нения состояния рассматриваемого флюида и пористой среды. Для получения решения системы уравнений надо еще задать условия на границах пласта и в начальный момент времени.
В результате интегрирования прежде всего определяется рас­пределение давления и скорости фильтрации по всему пласту в лю­бой момент времени, т. е.
р = р(х, у, z, 0, w_x = w_x{x, у, 2, t),
Wy = Wy{x, у, z, t), w_z = w_z{x, у, z, t).
Если рассматривается несжимаемая жидкость (р = const) в не- деформируемой пористой среде (т — const, k = const), то число искомых функций ограничивается этими четырьмя функциями (р, w_x, w_y, w₂). Для фильтрации сжимаемого флюида в сжимаемой пористой среде, кроме упомянутых функций, нужно определить плотность р, вязкость (х, пористость т, проницаемость k как функ­ции координат и времени. В этом случае нужно иметь восемь урав­нений — дифференциальных и конечных — для определения восьми характеристик фильтрационного потока, жидкости и пористой среды.
Аналитическое (в виде формул) решение системы дифференци­альных уравнений удается получить лишь в ограниченном числе простейших очень сильно идеализированных случаев, например в задаче о притоке упругой жидкости к скважине в пласте беско­нечной протяженности с постоянным дебитом.
В более сложных случаях система уравнений решается числен­ными методами с применением ЭВМ. В настоящее время хорошо разработаны численные методы решения самых разнообразных и очень сложных задач подземной гидравлики. При этом упомянутые аналитические решения играют очень важную роль: на них апро­бируются численные методы.
Систему дифференциальных уравнений можно использовать также для качественного исследования процесса. Если полученные уравнения привести к безразмерному виду, то в качестве коэффи­циентов будут фигурировать безразмерные параметры подобия. Анализируя их строение и численные значения, можно судить, какие силы играют решающую роль в процессе, какие члены урав­нения можно отбросить и т. д.