Подземная гидравлика

^{4 х} I
⁴ I ' - ⁴ /
\ I
-—)*?— / ! \
' i ⁴

111 Ц-Ll /l.lt	\°	ytunui
mm тш$		Ш

Рис. 4.3. Горизонтальное се­чение плоскорадиального по­тока

Рис. 4.4. Вертикальное сече­ние плоскорадиального пото­ка




Рис. 4.5. Вертикальное сече­ние радиально-сферического фильтрационного потока

сферическим. Такой поток может реализовываться, когда скважина вскрывает только кровлю пласта или глубина вскрытия значи­тельно меньше толщины пласта.
Описанные три вида одномерных фильтрационных потоков яв­ляются простейшими моделями реальных течений, возникающих при разработке нефтегазовых месторождений, но играют важную роль при решении некоторых практических задач.
Задача исследования установившегося фильтрационного по­тока заключается в определении дебита (или расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объему порового пространства пластового давления.
Перейдем теперь к изучению характеристик простейших уста­новившихся фильтрационных потоков несжимаемой жидкости в однородных пластах.

I
X
1
* со

Рис. 4.6. Вертикальное и гори­зонтальное сечение прямолиней­но-параллельного фильтрацион­ного потока

(4.9)

Для определения давления в любой точке потока проинтегри­руем дважды уравнение (4.9) при следующих граничных условиях:

Л

х = 0; х = L_K.

при
при

Р = Рк Р = Рг

(4.10)

Тогда в результате двукрат­ного интегрирования (4.9) находим последовательно dp

■■ C_t или dp = Cjdx,

dx

p — СхЛГ + Сг, (4-11)
где Cj и С, — произвольные постоянные.
Подставляя в (4.11) граничные условия (4.10), получаем
Сг ⁼ Рк)
Рк Рг

(4-12)

Ci= —

Закон распределения давления в пласте найдем, подставив зна­чения постоянных С_х и С₂ из (4.12) в (4.11):

Рк Рг

(4.13)

X.

Р = Рк'

Прямолинейно-параллельный поток
Пусть в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В
в сечении I—I, совпадающем с контуром питания, поддерживается
постоянное давление р_к, а в сечении II—II, отстоящем на расстоя-
нии L_K от контура питания, поддерживается постоянное давление р_г
(здесь расположена добывающая галерея) (рис. 4.6). Направим
ось координат Ол: вдоль линии тока, ось 0у — вдоль контура пи-
тания. Для полного исследования такого потока, как было выяс-
нено ранее, достаточно изучить
движение жидкости вдоль оси О*.
Дифференциальное уравнение
Лапласа (4.4) при этом примет
.я вид


dp!dx² = 0.

Из (4.13) получаем выражение для градиента давления
d
(4.14)
p _ Рк —Рг dx /-к
Уравнение движения для рассматриваемого случая, как сле­дует из уравнений (4.12), будет иметь вид
w= LJp.. (4.15)
ц dx
Тогда, подставив выражение (4.14) для градиента давления, в (4.15) найдем скорость фильтрации
^{w = J}t~Т^' <⁴-¹⁶>
Объемный расход жидкости в потоке определяется произведе­нием скорости фильтрации w на площадь поперечного сечения по­тока со = Bh, т. е.
(3 = шю=— ^Рк~^РгВк. (4.17)
Ц ^-к
Закон движения частиц жидкости t = / (х) найдем, используя соотношение между скоростью фильтрации w и средней скоростью движения частиц жидкости v. Имеем
dx
w = mv= m ,
dt
откуда
dt = —dx■ (4.18)
Подставив выражение (4.16) для скорости фильтрации в (4.18) и интегрируя в пределах от 0 до t и от 0 до х, получим закон движе­ния жидких частиц:
t= х = —^^Lk -д, (4.19)
fe Рк Рг k (р_к р_г)
который, используя (4.17), можно представить в виде
, m mBh
t =— х = —-—х. (4.20)
w 0
Средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление найдем из выражения
^{г ь} j pdVпор. (4.21)
^П0Р "пор
В нашем случае
^пор ⁼⁼⁼ triBhL/Kj, dV_mp = mBhdx. (4.22)
57

Подставив в (4.21) значения Упор, dV_nор из (4.22), р из (4.13) и проинтегрировав, найдем
^Ьк
р — ^[ fp_K -^к-~~ ^р- - mBhdx =
mBhL_K J К L_K J
о
-Ёг?(^л-^лС^й-*)^л-тг(^ли-^&^^х
О
х


Рис. 4.7. Изменение характеристик прямолинейно-параллельного филь­трационного потока вдоль линии тока
= (4.23)

						Рг

Pi ■ Рг Рз Pi P_s


Рч
о


Рис. 4.8. Гидродинамическое поле прямолинейно-параллельного филь­трационного потока



Таким образом, характеристики установившегося прямолинейно­параллельного потока несжимаемой жидкости в однородном пласте определяются соотношениями (4.13), (4.14), (4.16), (4.17), (4.19) и (4.23). Анализ этих формул приводит к следующим выводам.
Пластовое давление (4.13) распределяется вдоль линии тока {оси Ох) по линейному закону (рис. 4.7). В любой плоскости yOz давление одинаково во всех точках, для которых постоянна абс­цисса х, т. е. уравнение
х = const (4.24)
представляет собой уравнение семейства изобар (линий равного давления) — семейства горизонтальных прямых, перпендикуляр­ных к линии тока Ох.
Поверхностями равного давления в таком потоке будут являться вертикальные плоскости, перпендикулярные к линиям тока Ох.
Изобары и линии тока (в данном случае и траектории частиц жидкости) образуют два семейства взаимно перпендикулярных прямых линий.
В установившемся прямолинейно-параллельном потоке семей­ством изобар будут равноотстоящие друг от друга поямые, перпен­
дикулярные к оси Ох, а семейство траекторий будет представлено прямыми, равноотстоящими друг от друга и параллельными оси Оде (рис. 4.8).
Совокупность изображенных на чертеже изобар и траекторий частиц жидкости называют гидродинамическим полем данного по­тока. Градиент давления dp/dx (4.14), скорость фильтрации w (4.16) и расход (дебит) жидкости Q (4.17) постоянны вдоль потока (не за­висят от х) (см. рис. 4.7).
Тот факт, что на рис. 4.8 изобары и траектории представлены равноотстоящими параллельными прямыми, подтверждает по­стоянство градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока. Как и следовало ожидать, зависимость между вре­менем t и координатой х (4.19) получилась линейная, ибо в рассмат­риваемых условиях фильтрационный поток движется с постоянной скоростью.
Средневзвешенное пластовое давление р (4.23) равно полусумме значений давлений р_к и р_г на границах потока, что также нахо­дится в полном соответствии с линейным распределением (4.13) давления в пласте.