U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

Isboti: 
  ta elementli     { 
 
   
 
       
 
} to„plamdan   tadan olib 
tuzilgan takrorli guruhlashlar sonini topish uchun har bir  kombinatsiya-
lar tarkibidagi 
 
 
           
̅̅̅̅  elementlarni nol va bir raqamlaridan iborat 
kodlar  yordamida  shifrlaymiz.  Agar 
 
 
  element  kombinatsiyada  necha 
marta qatnashsa, shuncha birlar yozamiz, agar qatnashmasa, hech narsa 
yozmaymiz. 
Berilgan 
    { 
 
   
 
       
 
}  to„plam  tarkibidagi 
vergullarni nol raqami bilan almashtiramiz.  
Masalan, 
    {          }  to„plam  elementlaridan  tuzilgan  4  ta 
elementdan 5 tadan takrorli 
                guruhlashlarga 01100111 shifr 
mos keladi. Bu yerda  
    {          } to„plamdagi   elementdan keyingi 
vergul  0  raqamiga,   
               kombinatsiyada     element  ikki  marta 
qatnashgani uchun ikkita 11 raqamiga, 
    {          } to„plamdagi   va 
   elementdan  keyingi  vergullar  00  raqamiga,                   
kombinatsiyada  d   element  uch  marta  qatnashgani  uchun  uchta  111 
raqamiga  akslantirilgan.  01100111  shifr  tarkibida  beshta  1  raqami  va 
uchta  0  raqami  qatnashmoqda.  Agar  bu  yerda    ixtiyoriy    bitta  1  va  0 
raqami  o„rni  almashtirilsa,  bu  shifrga  mos  yangi  kombinatsiya  hosil 
bo„ladi.  
Masalan,  01100111  shifrning  birinchi  ikki  raqami  o„rni  almash-
tirilsa, hosil  bo„lgan 10100111 shifrga  mos  kombinatsiya  
                
ko„rinishida  bo„lib  qolgan  kombinatsiyalardan  hech  bo„lmaganda  bitta 
elementi  bilan  farq  qiladi.  01100111,  10100111  va  hokazo  shifrlar 
tarkibida 
         ta  va                     ta  nol  raqami  qatnashyapti. 
Demak,
     ta  elementli      { 
 
   
 
       
 
}  to„plamdan     tadan  olib 
tuzilgan  takrorli  guruhlashlar  sonini  0  va  1  raqamlardan  iborat 
shifrlarning o„rin almashtirishlar soniga teng. Bu shifr tarkibida 
        
ta 0 raqami, 
  ta 1 raqami mavjud. Shuning uchun 
 ̅
 
 
               
            
             
   
     
 
 
formula kelib chiqadi.