U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

          Teorema. Takrorli o„rin almashtirishlar soni  
   
 
   
 
       
 
   
  
 
 
     
 
         
 
 
                         
formula  bilan  topiladi,  bu  yerda 
     
 
   
 
       
 
  ‒  umumiy 
elementlar soni, 
  ‒ har bir elementning kombinatsiyada ishtirok etishlar 
soni.  
          Takrorsiz  o„rin  almashtirishlar  formulasi  (1)  formulaning 
 
 
 
   
 
       
 
    bo„lgandagi xususiy holi.  
          Isboti. Uzunligi 
  songa teng kombinatsiya elementlari orasida  
 
 
marta 
 
 
 element, 
 
 
 marta 
 
 
 element va hokazo 
 
 
 marta 
 
 
 element 
ishtirok  etsin.  Bu  kombinatsiyaning  mumkin  bo„lgan  barcha  o„rin 
almashtirishlar  sonini  topaylik.  Birinchi 
 
 
  element 
 
 
  marta  qatnash-
gani uchun, bu elementning mumkin bo„lgan o„rin almashtirishlari soni 
 
 
 ,  ikkinchi   
 
  element 
 
 
  marta  qatnashgani  uchun, 
 
 
   ta  o„rin 

---

 
59 
almashtirish  va  hokazo 
 
 
  element  uchun 
 
 
   ta  o„rin  almashtirish 
mavjud. Bu o„rin almashtirishlar bog„liq bo„lmagani uchun, ko„paytirish 
qoidasiga  ko„ra,  umumiy  o„rin  almashtirishlar  soni 
 
 
     
 
         
 
  ta. 
Uzunligi 
     
 
   
 
       
 
  songa  teng  kombinatsiya  uchun  o„rin 
almashtirishlar  soni  esa 
    ta  bo„ladi.  Kombinatsiya   
 
  marta 
 
 
 
element, 
 
 
 marta 
 
 
 element va hokazo 
 
 
 marta 
 
 
 elementdan iborat 
bo„lgani  uchun
   
 
     
 
         
 
     ta  o„rin  almashtirish  yangi  o„rin 
almashtirishni ifodalamaydi. Demak, 
   ta o„rin almashtirishlar tarkibida 
 
 
     
 
         
 
   ta  o„rin  almashtirishlar bo„lgani  sababli,  takrorli  o„rin 
almashtirishlar soni 
  
 
 
     
 
         
 
 
 
 ta ekan. 
         Bu teoremani quyidagicha ham isbotlash mumkin. 
   chekli  to„plam  bo„lib,  uning  elementlar  soni     ta  bo„lsin.  Quyidagi 
masalani ko„ramiz: bu to„plamni o„zaro kesishmaydigan (ya‟ni umumiy 
elementlari bo„lmagan) 
  ta  
 
   
 
       
 
 qism to„plamlarga necha usul 
bilan  ajratish  mumkin.  Boshqacha  aytganda,  necha  usul  bilan 
A
 
to„plamni    
     
 
   
 
       
 
           
 
   
 
             
yig„indi ko„rinishida yozish mumkin. Bu yerda 
 
 
 to„plamning element-
lari soni mos ravishda 
 
 
 bo„lsa, 
     
 
   
 
       
 
                     
tenglik bajariladi.  
 
Qo„yilgan  masalada  hamma 
 
 
   
 
       
 
  qism  to„plamlarni 
quyidagicha  hosil  qilish  mumkin: 
   to„plamning  ixtiyoriy   
 
  ta  
elementli 
 
 
 qism to„plamini olamiz.  Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, 
buni 
 
 
 
 
  usul  bilan  bajarish  mumkin.  Keyin  qolgan 
     
 
  ta 
elementdan 
 
   
 
 
 
usul bilan 
 
 
 ta elementli 
 
 
 qism to„plamni ajratamiz 
va hokazo. Turli 
 
 
   
 
       
 
 to„plamlarni tanlashlarning umumiy soni 
kombinatorikaning ko„paytirish qoidasiga asosan, 
 
 
 
 
   
   
 
 
 
       
   
 
    
   
 
 
 
 
  
 
 
          
 
  
 
      
 
 
 
 
        
 
   
 
 
   
 
      
 
   
 
       
   
  
 
 
          
 
   
 
       
   
   
 
 
 
Demak, natijaga ko„ra, takrorli o„rin almashtirishlar soni    

---

 
60 
   
 
   
 
       
 
   
  
 
 
     
 
         
 
 
 
ta.  (1)  formula  bilan  aniqlanadigan 
   
 
   
 
       
 
   sonlar  polinomial 
koeffitsiyentlar deb ataladi. 
           Takrorli  o„rin  almashtirishlar  vositasida  Nyuton  binomi  for-
mulasini umumlashtirishimiz mumkin. 
   
 
   
 
  takrorli o„rinlashtirish-
larda 
 
 
  element 
 
 
 marta,  
 
  marta 
 
 
  element  ishtirok  etgan  bo„lsin. 
Agar 
 
 
   
 
    tenglikda  
 
    va  
 
       
 
        deb olsak,    
   
 
   
 
   
  
 
 
     
 
 
 
  
             
   
 
 
 
binomial koeffitsiyent kelib chiqadi.  
Demak, binom formulasini quyidagicha ham yozish mumkin: 
       
 
          
 
          
   
                
 
  
  ∑             
   
 
 
 
   
                                          
bu  yerda