U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

          Teorema. 
   ta  turli  elementlardan     tadan  takrorli  o„rinlash-
tirishlar soni: 
 
 
 
   
 
                                                      
formula yordamida topiladi. 
           Isboti: Teoremani isbotlash uchun matematik induksiya usulidan 
foydalanamiz. 
          Induksiya bazasi: 
      uchun  
 
 
   
 
 ekanligi ravshan.  
          Induksion  o‘tish: 
       uchun   
 
 
   
 
  formulani  to„g„ri  deb 
faraz  qilib, 
           bo„lganda,   
 
   
   
   
  formula  ham  to„g„ri 
ekanini  ko„rsatamiz. 
   elementdan         tadan  olib  tuzilgan  takrorli 
o„rinlashtirishlarning  ixtiyoriy  birini  quyidagicha  hosil  qilish  mumkin. 
Bunday  takrorli  o„rinlashtirishlarning  birinchi  elementi  sifatida 
   
{ 
 
   
 
       
 
} to„plamning ixtiyoriy elementini olamiz. Bu elementdan 
keyin umumiy soni 
 
 
 
 ta bo„lgan, ya‟ni 
  ta elementdan   tadan takrorli 
o„rinlashtirishlarni ixtiyoriy biridagi barcha elementlarni joylashtiramiz. 
Bunday  o„rinlashtirishlarda 
    { 
 
   
 
       
 
}  to„plamning  element-
larini  ixtiyoriy  birini  tanlash  mumkinligini  hisobga  olsak,  ko„paytirish 
qoidasiga  ko„ra, 
   ta  elementdan         tadan  takrorli  o„rinlashtirish-
larning jami soni 
     
 
 
       
 
   
   
  Bu ifoda formulani           
uchun to„g„riligini ko„rsatadi.      

---

 
58 
         Demak,  umumlashgan  ko„paytirish  qoidasiga  binoan, 
   ta 
elementli 
   to„plam  elementlaridan  tuzilgan     uzunlikdagi  elementlari 
takrorlanishi mumkin bo„lgan kombinatsiyalar soni  
  ta bir xil to„plam 
elementlarining  soniga  teng  ekan.  Bu  son 
   ta        ‒    to„plam 
elementlari soni ko„paytmasidan iborat: 
                      
⏟