U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

           Teorema.  Ixtiyoriy 
 
 
   
 
       
 
 va natural  
  son uchun  
  
 
   
 
       
 
 
 
  
  ∑    
 
   
 
       
 
  
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
                       
formula o„rinli, bu yerda   
     
 
   
 
       
 
 natural son.  
          Bu formula umumlashgan Nyuton formulasi deb ataladi.  
          Isboti.   
  
 
   
 
       
 
 
 
    ifodaning  yoyilmasini 
  ta bir xil 
ifodalarning ko„paytmasi shaklida yozaylik: 
  
 
   
 
       
 
 
 
    
 
   
 
       
 
          
 
   
 
       
 
 
⏟                            
    
 
Qavslarni  ochib,  o„xshash  hadlarni  ixchamlaymiz.  Yoyilmaning 
tarkibidagi har bir 
 
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
 ko„paytmaning koeffitsiyentlari 
   ta  elementli  (     
 
   
 
       
 
)  takrorli  o„rin  almashtirishlar 
soniga teng bo„lib chiqadi. Demak, berilgan ifodaning yoyilmasi   
  
 
   
 
       
 
 
 
  ∑    
 
   
 
       
 
  
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
  
yig„indidan iborat.     
          Ko„phad yoyilmasini hisoblaganda,  
 
 
   
 
       
 
 (
     
 
   
 
 
     
 
)  sonlar 
 
 
   
 
       
 
  (
     
 
   
 
       
 
)  sonlarning  o„rin 
almashtirishlari natijasida hosil bo„lsa, u holda 
 
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
 va 
 
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
  hadlarning  koeffitsiyentlari  teng  bo„ladi.  Daraja 
ko„rsatkich 
   sonini       
 
   
 
       
 
  ko„rinishida  bo„laklashda  

---

 
61 
 
 
   
 
       
 
  yoki 
 
 
   
 
       
 
  shartni  qanoatlantiradigan 
qilib  tanlash  va  unga  mos   
 
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
  ifodaning  daraja 
ko„rsatkichlarini mumkin bo„lgan barcha o„rin almashtirishlari olinadi.   
         Masalan, 
           
 
  ifodaning  yoyilmasini  topaylik.  Daraja 
ko„rsatkich  3  sonini  mumkin  bo„lgan  barcha  imkoniyatlar  bilan 
bo„laklaylik. Bunday imkoniyatlar soni 3 ta bo„lib, ular 
                                                    
ko„rinishida va qolgan imkoniyatlar har bir yoyilmadagi sonlarning o„rin 
almashtirishlari natijasida kelib chiqadi. Demak, 
           
 
 ifodaning 
yoyilmasida uch turli koeffitsiyentlar mavjud: 
                                          
Ifodaning yoyilmasi: 
 
           
 
   
 
   
 
   
 
     
 
     
 
      
 
    
 
    
 
 
  
 
          ko„rinishda bo„ladi. 
         1-misol.  «Matematika»  so„zidan  harflarni  almashtirib,  necha  xil 
usul bilan so„z  yasash mumkin?  
Yechish: 
          «m» harfi  ikki  marta,  «a» harfi  uch  marta,    «t» 
harfi    ikki  marta,  qolgan  harflar  bir  marta  ishtirok  etyapti.  Umumiy 
usullar soni 
                
   
        
 ta. 
Agar  harflar  bir  marta  qatnashsa,  masalan,  «a»  harfi    alohida 
olingan  element  deb  qabul  qilinsa,  u  holda 
 
  
       ta  usul  mavjud 
bo„ladi.