И здан и е второе, стереотипное

2
{ ( ? . « ^ - х" Ч
К
Хп(' ~ т , л , ( т м Л ^
„=| У 
о 
>
со 
со
I t
= ^
2 5
>
. unf e - * n ‘ +  
2
£
0
>
„= 1
 
п
=1
 
1
о 
>
Абстрактная функция f ( t )  непрерывна при 
0; отсю д а
следует, что на сегменте [0, 7J непрерывна величина ||/(0||*

---

Т еперь нетрудн о доказать, что второй ряд справа в (
1
) 
сходи тся равномерно. Д ействительно, по неравенству Буня- 
к о в ск о го
И
е Хп(( 
(т)с?х
1
^ $ < Г
2
Х« (' - Т)с?т 
5
/ > ( т ) Л =
)
о 
п
^ Г -  ^
>
* <
5
^
Я М * .
(
2
)
Заменив зд есь Х„ наименьшим значением этой величины Xj, 
найдем, ч то общ ий член уп ом ян утого выше ряда имеет оцен ку
у - jj Я (v) dx. Равенство
2
*.
о
п=
1
показывает, ч то ряд (3 ) с неотрицательными непрерывными 
членами сх од и тся и имеет непрерывную сумму. П о известной 
теор ем е Дини ряд (3 ) равном ерно сходится на сегменте [0, 7"] 
при л ю бом Г ] > 0. А тогд а равномерно сходится и второй 
ряд справа в (
1
).
П р о щ е устанавливается сходи м ость первого ряда (
1
)
2 (9, 
< 2(ср, 
unf,
СО
а ряд 2 ^ (ср, и
л)9
сх од и тся в силу неравенства Бесселя.
/I =» 
1
Из док а зан н ого сл едует, что сумма ряда (1 .8 )