И здан и е второе, стереотипное

6
гл. 
2 0
. 
Напомним, что обобщ енное реш ение в данном случае есть 
абстрактная функция от t класса
С ([0 , о о ); М 2 ) ) (1 С ((0 , о о ), И ш) f| С<‘ >((0, о о ); Ы ^ ) ) -
удовлетворяю щ ая соотнош ению
,
 
ч (0 ) 
+ [и 
(0 . ч ( O k = (А О . ч (0 ) 
О )
и начальному условию
н (0 ) = ср. 
(2 )
Здесь 91— оператор задачи Д ирихл е (см. § 2 гл. 14) для 
конечной области 2 ( Z Ет с к у с о ч н о гладкой границей I ;
1 5 *

---

■*1
( 0
— произвольная абстрактная функция от t с о значениями 
в энергетическом пр остр ан стве / % , <р — элемент пространства 
Z-a(Q). Наконец, f ( i ) — абстрактная функция о т t с о значе­
ниями в Z.a (2 ) ; примем, что / £ С
11
) ([0, о о ); £ я(2 )).
Д опустим , что реш ение и(() = и (х , t) задачи (
1
) — (
2
) су ­
щ ествует. При лю бом t ^ 0 оно является элементом про­
странства Z .j(
2
) и разлагается в ряд по лю бой полной и 
ор тон орм ирован н ой в 
(
2
) системе, в частности, по системе 
собств ен н ы х элементов оператора 91. Обозначим эти элементы 
через ип = ип(х), а соответствую щ ие им собственны е числа —
через Х„. Обозначая
( и (
0
, un) = cn{t\ 
(3 )
имеем
и (9 =
*»(*)««• 
(4)
Л=> I
Д е л о сводится к вычислению 
коэффициентов 
cn(t),
Для 
э т о г о положим в тож д еств е (
1
) т}(t) = uk. Элемент ик не за­
висит о т U и по ф ормуле (5 .1 ) гл. 20
» и* ) = Ш 
Иа) = с *