И здан и е второе, стереотипное

и ( х ,
0
= и (
0
£ С ( [
0
, о о ); I
9
(S )).
б ) 
Ряд (1 .8 ) сх од и тся в метрике / % равномерно по t на 
л ю бом сегм енте [t, Т], где 0 < 7 < Г < о о .
В м етрике / % функции 
ортонормированы ; ряд (1.8)
Г
м ож н о представить в виде

---

Д оста точ н о, чтобы равномерно сходился ряд из квадра­
тов коэф ф ициентов; оценим эти последние. Имеем
•JY1 е ~ хп*
= — l— \nte~
ша х ге~г — - - - - - - - .
(5 )
t V K
t V K
t e V K
Т еперь
V U
0
^
2
( / ^ e - V ) * (
2
X „ ^ < r V ' - V „ ( < > * ) ^
=s£ 
(u nf
4 - jj 
f n
M
d x;
( 6 )
.
мы воспользовались здесь оценкой (2). Ряд с общ им членом 
(
6
) сх од и тся равномерно, и утверж дение б ) доказано. Из э т о г о
утверждения следует, что
и(л-, t) — u(t) 
С ((0, о о ); / % ) .
в) 
Ряд, полученный дифференцированием ряда (1 .8 ) по t, 
сходи тся в метрике £ а (
2
) равномерно по ( в лю бом с е г ­
менте [f, Т\, где 0 
t 
Т
о о .
П осл е дифференцирования ряда (1 .8 ) по t мы получаем 
следующ ий ряд:
S
{ — М < р . И „ ) « " Х» ' + / « ( 0 —
Хл 5 r " » (' - , 7 „ W
* } « a W
n = l I
0
;
или, если взять интеграл по частям,
Ц
-
п
=1
I
0
р> ип)е Уп> 
fn
(
0
) е *п>
4~
« „ м .  
(7 )
о 
/
Э то — по-прежнему ряд по 
полной 
ортонорм ирован ной в 
1
9
( 2 ) системе {гг„ 
Оценим е го коэффициенты. П о нера­
венству Коши квадрат коэффициента при н„ (дг) в ряде (7 ) 
не п р ев осх од и т величины
it
\а
3 ( \ , e - V j « ( Tl „ n)a +
3
/ ‘ (
0
) e - 2V + 3 ^ e - ^ (/- T7 ; W ^ j ^
t
: ^ ( т . ».)* + з / ; ( 0 ) + . ж ^ Л М Г * '
(8 >

---

Из сделанных нами предположений о функциях у ( х )  и 
f ( x , ()
следует, что ряд с общим членом (
8
) сходится. 
В таком случае ряд (7 ) сходится в метрике 1 а ( 2 ) равно­
м ерн о на сегменте [t, Г]. Утверждение в) доказано. Из эт о го
утверж дения следует, ч то сумма ряда (
1
.
8
)
и (х ,
*) = и (
0
£ С
1
, ) ((
0
, о о). ^ (
2
)).
(1
2
^ ^ ММЗ ^ ЯДЗ 
удовлетворяет начальному условию
Д ействительно, в силу доказанного в п. а) в этом ряде 
м ож н о почленно п ереходить к пределу при t - >
0
, поэтому
I
I ОО 
II
2 (т. « „ ) « „ — J = о.
I 
Л = 1
II
д ) Сумма ряда (
1
.
8
) удовлетворяет интегральному со о т н о ­
ш ению (
1
.
1
).
П усть 
к)(t) — произвольная 
абстрактная функция о т t, 
0 < * < с ю , с о значениями в Н%. О бе части ряда (1.8), пред­
варительно продиф ф еренцированного по t, умножим скалярно 
(в метрике