И здан и е второе, стереотипное

( 0
•
П о определению (обобщ ен н ой ) собственной функции (см. 
ф ор м у л у (3 .2 ) гл. 
6
)
[и (t), uh \
= АЛ (и (^), ик) = Хкск (().
Обозначая
( / ( 0 . «л) =  /* (0 . 
(5 )
получаем окончательно
сь ( 0  -(- \кск (г1) = f k (f). 
(
6
)
Э т о — обы к н овен н ое 
дифференциальное уравнение первого 
порядка с числовыми функциями: заданной f k (t) и неизвест­
ной ck (t). О бщ ий интеграл этого уравнения

---

Из формул (2 ) и (3 ) вытекает начальное усл ови е для урав­
нения (
6
)
£ * ( 0 ) = (<Р» «*)•
О тсю да Cft = (<р, и к) и
ск (() = {
(7 )
■
о
О стается подставить (7 ) в ф ормулу (4), и мы приходим к 
следую щ ему выводу.
Если смешанная задача теплопроводн ости ( 1 ) — (2 ) имеет 
о бобщ ен н ое решение, то он о представляется рядом
к(лг, 
0
= £ (
П
“ 1
+
/ - ( ' ) * •
( 8> 
п = 1 
о
Из этого, между прочим, вытекает единственность о б о б ­
щ енного решения, доказанная в §
6
гл. 
2 0
.
§ 2. О б о с н о в а н и е м етод а
Д окажем, что ряд (1 .8 ) действительно дает обоб щ е н н о е
решение задачи теплопроводности. Д оказател ьство сводится 
к проверке утверждений, ф ормулируемы х ниже.
а) 
Ряд (1 .8 ) сходится в метрике Ц (Я ) равномерно по t 
на любом сегменте [0, Т\.
Ряд (1 .8 ) — ортогональный в Lt (Q), и д о ст а т о ч н о п р ове­
рить, что равномерно на сегменте [
0
, Т] сх од и тся ряд из 
квадратов коэффициентов