И здан и е второе, стереотипное



Download 13,51 Mb.
Pdf ko'rish
bet220/298
Sana08.07.2022
Hajmi13,51 Mb.
#758730
TuriУчебник
1   ...   216   217   218   219   220   221   222   223   ...   298
Bog'liq
с. г. Михлин Мат.физ


§
6
. О бобщ енное решение задачи Коши
П ост а н овк а задачи 
Коши для в о л н о в о г о урав нен ия, 
данная 
в § 3, предполагает, ч то искомая ф ун к ц и я о б л а д а е т п о кра йн ей м е р е
теми производн ым и, к о т о р ы е вхо дя т в д и ф ф ер ен ци а л ь н ое у р а в н е н и е . 
При изиестных ус л ови ях э т о на с а м о м д ел е так. С ' Л. С о б о л е в


показал, что ре ш е н и е зад ачи К ош и для о д н о р о д н о г о в о л н о в о г о у р а в ­
нения имеет н е п р е р ы в н ы е в т о р ы е пр ои зводн ы е, если 
начальная 
ф ун к ция ? , , ( * )
и м еет 
н еп рер ывн ые 
п р о и з в о д н ы е
п оря дк а
д о
а ФУНКЦИЯ «Pi W
— ДО порядка [ у ] + 2- 
Если 
т
^ 5 , то
указа н н ые числа не м о г у т б ы т ь , в о о б щ е г о в о р я , ум ен ь ш ен ы ; при 
т =
1, 2, 3 о т н ачальн ых функций м ож но п о т р е б о в а т ь м е н ь ш е г о
числа пр ои зводн ы х. Так, н етр у дн о пр ов ери ть , что ф у н к ц и я 1)
и (х, t)
— - у [<р0 

+ 0 - 1 -
9о (х -
р е ш а е т за дачу К о ш и для уравнения стр уны
д2и
__ дги
Ш* 
дл
-01

0
п ри начальных у с л о в и я х
« I/—о = <Ро (*).
ди
dt t-
о
-
0
.
(
1
)
(
2
)
(
3
)
Я сн о , ч то р е ш е н и е
и (х , ()
в этом сл уча е имеет в т о р ы е п р о и з в о д ­
ны е, если с у щ е с т в у е т в т о р а я производная 
(л*). О д н а к о из физи ­
ч е с к и х с о о б р а ж е н и й т р е б о в а н и е , чтобы втор ая пр ои зво дн ая
у"
(
х

с у щ е с т в о в а л а , не вы те к ает. В самом деле, ус л ови я (3) оз н ач а ют.
Рис. 44.
ч т о в начальный мом ен т с т р у н у вывели из со стоя н и я ра вн овесия , 
с о о б щ и в ей на ча ль ное от к л о н е н и е ip0 
(х)
и не с о о б щ и в ей начальной 
с к о р о с т и . Г ра фи к ур ав нен ия
a = < f 0 (x)
дает ф о р м у ст р у н ы в началь­
ный м омен т врем ен и.
Д о п у с т и м , ч то г р аф и к функции <р0 
(х)
есть ломаная рис. 43. 
У э т о й фун к ции в т р е х т о ч к а х
х —
— 1, 0, 1 нет даж е п е р в ы х п р ои з­
вод н ы х , те м не м ен ее задача о колебаниях струн ы с такой началь­
н о й ф о р м о й в п ол н е о с м ы с л е н а , , и р еш ен и е э той задачи да ется той ж е 
ф о р м у л о й ( I ) : ф о р м а с т р у н ы в моменты време ни , не сли ш к ом близ­
к и е к н а ча ль н ом у, по каза на на рис. 44. Ясно, ч т о функция (1) не 
и м е е т не т о л ь к о в т о р ы х , н о и перв ых п р о и з в о д н ы х при значениях 
п е р е м е н н ы х , свя з ан н ы х со о т н о ш е н и я м и
х ±. t
= — 1, 0, 1.
' ) П о д р о б н е е о б э т о м см. ниже, § 7 гл. 24.


Во зни кает Н е о б х о д и м о с т ь ввес ти в р а с с м о т р е н и е о б о б щ е н н ы е
р е ш е н и я задачи Кош и; с т а к о го рода о б о б щ е н и я м и мы у ж е не раз 
в с т р е ч а л и с ь на протяжен ии н а стоя щ ей книги. М ы введем сперва 
о п р е д е л е н и е
обобщенного решения дифференциального уравнения.
П у с т ь
L
— линейное ди ф ференци аль ное в ы р а ж е н и е , скажем, 
в т о р о г о порядка, а 
М
— ди ффер ен ци аль ное в ы р а ж е н и е , ф орм альн о 
с о п р я ж е н н о е с 
L.
П у с т ь функция 
й
£ С (8|( 2 ) у д о в л е т в о р я е т в к о н е ч н о й об ласти 2 
ур ав нен и ю
з д е с ь ч ер ез 
х
обоз начен а с о в о к у п н о с т ь в сех н е з а в и с и м ы х п ерем ен ­
ных. П у с т ь , далее, функция Ф (
х )
£ ® lISl (fi) ( § 1 гл. 2). Применим 
к фун кция м 
и (х)
и Ф 
(х)
ф о р м у л у Грина ( ф о р м у л а (6.4) гл. 10). 
При э т о м интеграл по п о в е р х н о сти исчезнет, п о т о м у ч то на рранице 
о б л а с т и £2 функция Ф и ее п р ои з вод н ы е равны н ул ю , и мы п р и х о ­
дим к со о т н о ш е н и ю
Н е т р у д н о доказать, что фун кци я м £ С (,) (£2)> у д о в л е т в о р я ю щ а я
с о о т н о ш е н и ю (5), у д овл етвор я ет т а к ж е и у р ав н е н и ю (4).
В ве дем сл е д у ю щ е е опред ел ени е: 
функция и
(л:), 
суммируемая 
е й
и удовлетворяющая соотношению
(5), 
называется обобщенным 
решением уравнения
(4).
Н е т р у д н о убед и ть ся , что введен н ы е ран ь ш е в э т о й кн иге п о­
нятия о б о б щ е н н ы х решений различных задач н аходя тся в со гл ас ии
с т о л ь к о что данным опр еделением. В с о о т в е т с т в и и с этим о п р е д е ­
лением б у д е м называть фун кцию
и (х, t)
о б о б щ е н н ы м ре ш ен ием 
в о л н о в о г о уравнения
в п о л у п р о с т р а н с т в е < > 0 , если в л ю б о й к о н еч н ой о б л а с т и
D
изм е­
нения переменных 
х и х г
.........
х т, t
эта ф ун к ция с у м м и р у е м а и
у д о в л е т в о р я е т со о т н о ш е н и ю
Т е п е р ь введем понятие о б о б щ е н н о г о р е ш е н и я зада чи К ош и. 
П у сть ур ав не нию (6) с о п у т с т в у ю т на ча ль ные у с л о в и я
Ф ун к ц и ю
и (х, t)
назовем о б о б щ е н н ы м р е ш е н и е м зад ачи К о ш и
(6), (8), если эта функция: 1) я вл яет ся о б о б щ е н н ы м р е ш е н и е м у р а в ­
нения (6); 2) сум м ируе ма с квадра том и и мее т с у м м и р у е м ы е с квад­
ратом о б о б щ е н н ы е перв ые п р о и з в о д н ы е в л ю б о й к о н е ч н о й о б л а сти
изменения переменных 
х и х г,
. . . , л от, 
t;
3) 
в 
л ю б о й
к о н е ч н о й
L u — f
(лг);
( 4 )

иМФ dx = \ /Ф dx,
V ф € ЭД121 (2)-
( 5 )

Download 13,51 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   216   217   218   219   220   221   222   223   ...   298




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish