Во зни кает Н е о б х о д и м о с т ь ввес ти в р а с с м о т р е н и е о б о б щ е н н ы е
р е ш е н и я задачи Кош и; с т а к о го рода о б о б щ е н и я м и мы у ж е не раз
в с т р е ч а л и с ь на протяжен ии н а стоя щ ей книги. М ы введем сперва
о п р е д е л е н и е
обобщенного решения дифференциального уравнения.
П у с т ь
L
— линейное ди ф ференци аль ное в ы р а ж е н и е , скажем,
в т о р о г о порядка, а
М
— ди ффер ен ци аль ное в ы р а ж е н и е , ф орм альн о
с о п р я ж е н н о е с
L.
П у с т ь функция
й
£ С (8|( 2 ) у д о в л е т в о р я е т в к о н е ч н о й об ласти 2
ур ав нен и ю
з д е с ь ч ер ез
х
обоз начен а с о в о к у п н о с т ь в сех н е з а в и с и м ы х п ерем ен
ных. П у с т ь , далее, функция Ф (
х )
£ ® lISl (fi) ( § 1 гл. 2). Применим
к фун кция м
и (х)
и Ф
(х)
ф о р м у л у Грина ( ф о р м у л а (6.4) гл. 10).
При э т о м интеграл по п о в е р х н о сти исчезнет, п о т о м у ч то на рранице
о б л а с т и £2 функция Ф и ее п р ои з вод н ы е равны н ул ю , и мы п р и х о
дим к со о т н о ш е н и ю
Н е т р у д н о доказать, что фун кци я м £ С (,) (£2)> у д о в л е т в о р я ю щ а я
с о о т н о ш е н и ю (5), у д овл етвор я ет т а к ж е и у р ав н е н и ю (4).
В ве дем сл е д у ю щ е е опред ел ени е:
функция и
(л:),
суммируемая
е й
и удовлетворяющая соотношению
(5),
называется обобщенным
решением уравнения
(4).
Н е т р у д н о убед и ть ся , что введен н ы е ран ь ш е в э т о й кн иге п о
нятия о б о б щ е н н ы х решений различных задач н аходя тся в со гл ас ии
с т о л ь к о что данным опр еделением. В с о о т в е т с т в и и с этим о п р е д е
лением б у д е м называть фун кцию
и (х, t)
о б о б щ е н н ы м ре ш ен ием
в о л н о в о г о уравнения
в п о л у п р о с т р а н с т в е < > 0 , если в л ю б о й к о н еч н ой о б л а с т и
D
изм е
нения переменных
х и х г
.........
х т, t
эта ф ун к ция с у м м и р у е м а и
у д о в л е т в о р я е т со о т н о ш е н и ю
Т е п е р ь введем понятие о б о б щ е н н о г о р е ш е н и я зада чи К ош и.
П у сть ур ав не нию (6) с о п у т с т в у ю т на ча ль ные у с л о в и я
Ф ун к ц и ю
и (х, t)
назовем о б о б щ е н н ы м р е ш е н и е м зад ачи К о ш и
(6), (8), если эта функция: 1) я вл яет ся о б о б щ е н н ы м р е ш е н и е м у р а в
нения (6); 2) сум м ируе ма с квадра том и и мее т с у м м и р у е м ы е с квад
ратом о б о б щ е н н ы е перв ые п р о и з в о д н ы е в л ю б о й к о н е ч н о й о б л а сти
изменения переменных
х и х г,
. . . , л от,
t;
3)
в
л ю б о й
к о н е ч н о й
L u — f
(лг);
( 4 )
J
иМФ dx = \ /Ф dx,
V ф € ЭД121 (2)-
( 5 )
Do'stlaringiz bilan baham: