И здан и е второе, стереотипное

* « = / ( 0
<7 ) 
при начальных условиях
и (
0
) = ср0, 
и'
(
0
) = cpt. 
(
8
)
Возьмем 
произвольную
функцию 
т](<), принадлежащ ую 
пересечению
К =
С ([0, о о ); 
Я л ) П 
( [ 0 / 'о о * Ц (2 )). 
(9 ) 
О бе 
части 
уравнения (7 ) умножим скалярно (в м етрике 
1
а(
2
)) на т
) ( 0
Ч (
0
) + ( З И
0
> 4 ( 0 ) = ( / (
0
> 4 ( 0 ) .
что приводится к виду*)
t
(<)) + [« 
(0,
4(01=
(ДО,
ч ( 0 Н ё к (10>
Т ож д еств о ( 1 0 ) мож но бы ло бы использовать для о п р е ­
деления о б о б щ е н н о го решения. О дн ако э т о бы л о бы нецеле­
сооб р а зн о :— такое обобщ ен н ое реш ение дол ж н о бы л о бы
иметь в т ор у ю производную по t. П о эт о м у поступим с л е д у ю ­
щим образом. Выберем произвольный момент времени Т ^ > 0
и потребуем, чтобы ij( T ) = 0. П роинтегрируем п о t о б е
части тож дества (1 0 ) в промежутке (0, Т). П о ф орм ул е (5 .1 ) 
гл. 
2 0
имеем
( d*u
(О т / а \ — d ( da 
v гл) 
( du
(О 
(*> \
\ dt* • W )) ~ d t \ dt 
’ 4 ( 4 )
\ dt 
' 
dt j
-
Используя равенства ц (Т ) = 0, й '( 0 ) =
получим ,
- $ ( - W 1 ^ 4 r ) dt + S f“ W- 4 (
0
] dt -
( ?1, Ti (
0
)) =
о 
0
T
=
-n № d t, 
ъ е к т .
(
1 1
)
0
!) Значок *Л у энергетического произведения или нормы здесь 
и ниже опускаем.

---

Через Кт здесь обозначен класс функций t\(t) таких, чго 
к] 
К
и т)(7') = 0. Т ож деством (1 1 ) мы и воспользуемся, 
чтобы ввести понятие обобщ ен н ого решения.
Будем говорить, что абстрактная функция u (t) есть обоб­
щенное решение
смешанной задачи (
1
), (
2
), (
6
), если 
1
) и ^ К\
2
) и (
0
) = ср0; э т о равенство следует понимать в том смысле, 
что
lltn I н 
( 0
—
9
о
1
=
0
;
t
- о
3) u (t) удовл етворяет тож деству (
11
), в к отор ом ■»](<) есть 
произвольная функция класса Кт-
Л егко убедиться, что обобщ енное решение u(t), принад­
лежащ ее пересечению
С “ ) ( [
0
, о о ); 0 ( 3 0 ) Г) С<
4
) ((
0
> о о * D (
2
()),
есть и обы чн ое 
реш ение смешанной задачи для вол н ового 
уравнения.
Т е о р е м а 21.2.1. 
Смешанная задана для волнового
уравнения имеет не более одного обобщ енного решения.
Разность w (t ) дв у х обобщ енных решений одной и той 
же смешанной задачи для волнового уравнения (
1
) есть эле­
мент класса К, удовлетворяю щ ий тож деству
Ч г 1 ’ ^ г ) dt + S I® 
ч ( 0 ] Л = 0, 
€
К Т, (1 2 )
о
и начальному усл ови ю
«у (0 ) = 0. 
(1 3 )
В тож дестве (1 2 ) положим
Г
i j ( 0 — l w ( t ) d ~ . 
(1 4 )
t
Э т о м ож но сделать, п отом у что при этом , очевидно, •») £ К т
.
Из ф ормулы (1 4 ) следует, что 
w ( t ) =
—
, и мы полу­
чаем

---

Далее
( d \ (t)
tf-г1 
(t)
\ _ 1 
/ rf-q ( 0
drj (t) \
\ dt 
' 
dt J
2 ■ 
dt\ dt
’ 
dt }
p S T . ч < < > ] = T • 
7 ,
14 » ■ 4 ( 0 1 =
T • Д 1 1 ( ' ) f -
О тсю да да(7') = 0, что и тр ебова л ось 
доказать, так как Т 
произвольно.
§ 3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами. 
Задача Коши. Характеристический конус
Ниже в настоящей главе мы будем рассматривать вол н о­
вое уравнение простейш его вида
Как мы выяснили в § 1, п оп ерхн ость t — О для уравне­
ния (1 ) не характеристическая. Задача Кош и для э т о г о урав­
нения ставится следующим обр азом : при л ю бом х  £ Ет и 
любом 
О найти решение уравнения (
1
), удовл етворяю щ ее 
начальным условиям
Важным инструментом исследования 
и решения задачи 
Коши для волнового уравнения является так называемый 
характеристический конус.
Возьмем некоторую точку (
jcq
, / 9) и рассм отрим п ов е р х ­
ность, определяемую уравнением
Э т о — нижняя полость конуса с верш иной в точ к е (лг0, ^о) и 
осью , 
параллельной оси t. Н етрудн о видеть, ч то п ов е р х ­
^ - Д