И здан и е второе, стереотипное

^ ~ р - —
2 «Я (X) ^ cos / Х „ {t —  х ) / „ (г ) dx
П=
I
dw (t)
I 
л
й что _ _ _ | ^ о = ° .
Утверждения п. в) были доказаны попутно.
Обратимся к п. г). Докажем, что w (х , t) удовл етворяет 
тож деству (4.1), к о т о р о е в данном случае принимает вид
$ [® (0 . ч ( 0 1 « й =
и 
о
г
— \ 
n(t))dt,
Т] 
£ К г -
(4 )
о
Имеем 
г
= 2 5 ("»• 
) ( $ COS 
/ К V — ') fn
М * }
я -= 1 о 
U
Внешний интеграл возьмем по частям

---

Внеинтегральный член исчезнет, п отом у что 
tj
( 7 ) = 0. При­
няв во внимание, что
ОО
П~
I
И что
У К
(“ «• ч W ) = - j ^ = К - ч (0 1 .
находим, что
)
-
J ( /( 0 k 4 ( 0 ) r f < + s [« (0 . -4(01*.
и соотн ош ен и е (4 ) доказано.
§ 7. У р а в н е н и е к ол еба н и й ст р у н ы . У сл о в и я
с у щ е с т в о в а н и я к л а с с и ч е с к о г о р еш ения
В о п р о с о том, при каких условиях обобщ ен н ое решение 
смешанной задачи для вол н ового уравнения будет одновре­
менно и классическим, мы исследуем тол ьк о для простейш его 
уравнения струны *)
дги 
д*и
dt* 
~ф
х »
== 
0 ^ лг 
1, t 
0. 
(1 )
Будем реш ать э т о уравнение при кр а евы х'усл ови ях
и (0 , 0 = « ( 1. 0 = 0
(2 )
и начальных условиях
" L
o - f t w
Щ
, . . “
t w
(3 )
В данном случае Х„ = n V , м„ (х ) — 1^2 sin пкх; по общей 
ф орм уле (4 .1 3 ) обо бщ ен н о е решение имеет вид
СО