И здан и е второе, стереотипное

0
==S.x;sS 
1
» * S sO , то, прежде в се го , необход и м о, чтобы
ср(л:) была непрерывной. Далее функция и {х , t) должна быть 
непрерывной в точках ле = 0, / = 0 и 
1, t = 0. В каж ­
дой из этих точек можно вычислить значения и (х , t), исходя 
как из начального условия, так и из краевы х условий (3), 
и оба сп особ а должны приводить к од н ом у и том у же резуль­
тату. Отсю да следует, что функция tp(J^) н еобход и м о д ол ­
жна удовлетворять условиям согласования
< р (0 ) =
с р ( 1 ) =
0 . 
( 4 )
Теперь мож но сф ормулировать о т в е т на в оп р ос, постав­
ленный выше; обобщенное решение задачи (
1
) — (3 ) будет  
tt классическим, если начальная функция
ср (лг) абсолютно 
непрерывна на сегменте
[
0
, 
1
], ее производная c p '£ £ - s (
0
, 
1
) 
и удовлетворяются условия согласования
(4). Д окаж ем эт о .
В 
данном 
случае 
оператор 91 д ей ств у ет 
по 
ф ормуле
81 н = — ^
и определен на функциях класса С (4) (0, 
1),

---

которы е обращ аю тся в нуль при лт = 0 и х —  1. Формулы 
(8 .3 ) и (8.4а) гл. 
6
дают собственны е числа и собственны е 
функции оп ер а тор а 91
К —
я®*9» 
ип {■х) — У~2
sin т х .
П о ф орм ул е (1 .8 ) находим
CO
и (х , t ) =
2
bne ~ n^ 2t sin т х , 
( б )
П
=“ 1
где для кр а ткости обозначено