Toshkent moliya instituti "statistika" kafedrasi

Kamaytirilgan variantlar bo’yicha o’rtachani hisoblash 
Intervalni o’rtacha 
qiymati (x) 
X-A 
Sotuvchilar soni 
(f) 
(X-A)f 
120 
160 
200 
240 
280 
0 
40 
80 
120 
160 
12 
20 
24 
14 
10 
0 
800 
1920 
1680 
1600 
Jami 
- 
80 
6000 
.
195
120
75
;
75
80
6000
120
195
м
у
с
минг
х
А
х









3. Agarda har bir variantga (x) qandaydir bir A sonini qo’shsak, yangi 
o’rtacha o’sha A soniga katta bo’ladi: 

---

58 
ердан
бу
А
х
f
f
А
х
,
)
(





A
f
f
А
х
х





)
(
Bu xossa oldingi xossaga o’xshash bo’lganligi sababli uni qo’llanishiga 
to’xtamaymiz.
4.
Agarda har bir variantni (x) qandaydir bir A soniga bo’lsak, yangi o’rtacha 
haqiqiy o’rtachaga nisbatan A marta kichik bo’ladi. 
ердан
бу
А
х
f
f
А
х
,




A
f
f
А
х
х





Oldingi keltirilgan misol raqamlari asosida bu xossani qo’llanilishini ko’rib 
chiqamiz (4-jadval). Hamma variantlarni 100 (A=100) ga bo’lamiz. Olingan 
o’rtacha, haqiqiy o’rtachadan 100 marta kichik bo’lishi kerak yoki 195/100 = 1,95 
ming so’m. 
4-jadval 
Qisqartirilgan variantlarda o’rtachani hisoblash 
Intervalni o’rtacha 
qiymati (x) 
А
Х
Sotuvchilar soni (f) 
f
А
Х

120 
1,2 
12 
14,4 
160 
1,6 
20 
32,0 
200 
2,0 
24 
48,0 
240 
2,4 
14 
33,6 
280 
2,8 
10 
28,0 
Jami: 
- 
80 
156,0 
 
.
95
,
1
80
0
,
156





f
f
А
х
м
у
c
минг
x

195
100
95
,
1



 
 
5. Agarda har bir variantni (x) qandaydir bir A soniga ko’paytirsak, yangi 
o’rtacha haqiqiy o’rtachaga nisbatan A marta katta bo’ladi:
А
х
f
f
А
х





)
(
, bu erdan
A
f
f
А
х
х
:
)
(




Bu xossa oldingi xossaning teskarisi bo’lganligi sababli, uni qo’llash 
texnologiyasiga to’xtashni lozim deb topmadik. 
6. Agarda chastotalarni
 
f
qandaydir bir A soniga bo’lsak yoki ko’paytirsak, 
yangi o’rtacha o’zgarmaydi. Nimaga bunday? O’rtacha arifmetikni hisoblashda 
chastotalar bor yo’g’i vazn rolini o’ynaydi. Chastotalarning sonini oshirish yoki 
kamaytirish bilan, variantlarning ulush qiymati o’zgarmaydi. 

---

59 
Bu xossaning qo’llanilishini oldingi misol asosida tekshirib ko’ramiz. 
Qatorning hamma chastotalarini 10 ga kamaytiraylik va yangi o’rtachani 
hisoblaylik (5-jadval). Yangi hisoblangan o’rtacha 195 ming so’mligicha qoladi. 
5 - jadval 
Qisqartirilgan chastotalar bilan o’rtachani hisoblash 
Intervalni o’rtacha 
qiymati
(x) 
Sotuvchilar soni
(f) 
10
f
10
f
х

120 
12 
1,2 
144 
160 
20 
2,0 
320 
200 
24 
2,4 
480 
240 
14 
1,4 
336 
280 
10 
1,0 
280 
Jami: 
80 
8,0 
1560 
5-jadvaldan keltirilgan ma’lumotlar asosida o’rtacha hisoblaymiz: 
м
у
с
минг
f
f
x
х

195
0
,
8
1560
10
10




7. Variantlar bilan o’rtacha arifmetik o’rtasidagi tafovut yig’indisi doimo 
nolga teng. 
ёки
f
х
х
0
)
(



0
)
(



x
x
Bu xossani ham 6-jadvalda tekshirib ko’ramiz. 
6-jadval 
Tekshirish uchun bajarilgan hisob-kitob 
Intervalni o’rtacha 
qiymati (x) 
Sotuvchilar soni (f) 
х
х

f
x
x
)
(

120 
12 
- 75 
- 900 
160 
20 
- 35 
- 700 
200 
24 
5 
120 
240 
14 
45 
630 
280 
10 
85 
850 
Jami: 
80 
- 
-1600 
+1600 
Demak, 
0
)
(



f
х
х
. Bu xususiyat o’rtacha arifmetik miqdorlarning to’g’ri 
yoki noto’g’ri hisoblanganligini tekshirish uchun zarurdir. 
Yuqorida ko’rib chiqilgan o’rtacha arifmetikni xossalarini o’rganishdan 
maqsad nima degan savol tug’ilishi mumkin. Maqsad - hisob-kitoblarni 
osonlashtirish, tezlashtirish va tekshirish. 

---

60 
Variatsion qatorlarda o’rtachani hisoblashning payt(moment) usuli. 
Bu 
usulda o’rtacha arifmetikni xossalaridan foydalanib o’rtacha miqdorlar 
hisoblanadi. Yuqorida keltirilgan misol raqamlari asosida o’rtachani payt usuli 
bilan hisoblashni ko’rib chiqamiz (7-jadval). 
7-jadval 
Payt usuli bilan o’rtachani hisoblash 
x 
1
x
i
А
х


f 
x
1
f 
120 
- 2 
12 
- 24 
160 
- 1 
20 
- 20 
200 
0 
24 
0 
240 
1 
14 
14 
280 
2 
10 
20 
Jami: 
- 
80 
10
34
44






Bu ish quyidagi bosqichlarda bajariladi. Birinchi navbatda qatorning har bir 
variantidan doimiy son ajratiladi. Doimiy son sifatida bizni micolimizda 200 
ishlatilishi mumkin. Odatda doimiy son deb eng ko’p uchraydigan variant qabul 
qilinadi. Ikkinchidan variantalar bir doimiy songa bo’linadi. Odatda bu son o’rnida 
guruh oralig’i olinadi (bizning misolda 40). x
1
– birinchi variant uchun – 2ga teng 
va h.k. Nolga teng deb olingan variantdan yuqorida manfiy, pastda musbat natural 
sonlar paydo bo’ladi. Shu yangi variantlar asosida hisoblangan o’rtachani (m
1
) 
birinchi darajali payt deb atladi va quyidagi formula bilan aniqlanadi: 
125
,
0
80
10
1
1







f
f
х
m
Endi, o’rtacha arifmetikni hisoblash uchun, birinchi darajali payt (m
1
) 
miqdorini o’sha guruh oraliq miqdoriga ko’paytirib, kelib chiqqan natijaga 
ajratilgan doimiy son qo’shiladi
х
=i∙m+A=40∙(-0,125)+200=195 ming so’m. 
O’rtacha arifmetik miqdorni payt usulida hisoblash variatsion qator teng 
intervalli bo’lsa ishni ancha osonlashtiradi.