|
=
F x
,
,
Bu yerda
θ
=(
θ
1
, …,
θ
r
) –
r
- o‗lchovli vektor,
R
r
parametrlar
qiymati to‗plami bo‗lsin. U holda asosiy gipoteza
H
0
ga asosan
0
,
alternativ gipotezaga asosan esa
\
1
0
. Asosiy gipoteza
H
0
ni
tekshirish uchun
S
1
va
S
1
*
ikkita kritik to‗plamlar bo‗lib, ular har birining
qiymatdorlik darajasi α bo‗lsin. Faraz qilaylik,
W S
W S
1
*
1
,
,
,
0
va
W S
W S
1
*
1
,
,
,
1
bo‗lsin.
uchun qat‘iy tengsizlik o‗rinli bo‗lsin. U holda
S
1
*
ga asoslangan statistik
alomat
S
1
nikiga nisbatan tekis quvvatliroq deyiladi. Tabiiyki, bu holda
S
1
*
ga asoslangan statistik alomatni
S
1
nikiga afzal ko‗rmoq maqsadga
muvofiq bo‗ladi, chunki u alomat kam xatolikka yo‗l qo‗yadi.
S
1
uchun o‗rinli
bo‗lsalar,
S
1
*
ga mos alomat tekis eng quvvatli (t.e.q.) alomat deyiladi.
Oldingi paragrafda biz tekis eng quvvatli alomat haqida so‗z
yuritdik. Tabiiyki t. e. q. alomat har doim mavjud bo‗lavermaydi. Endi
parametrik statistik alomatlar orasida bo‗ladigan holni ko‗raylik. Faraz
qilamiz, parametlar to‗plam Θ ikki elementdan iborat bo‗lsin: Θ = {
θ
1
,
θ
2
}.
Asosiy gipoteza
H
0
ga asosan
θ=θ
0
bo‗lsin. U holda alternativ
H
1
gipotezaga ko‗ra esa
θ = θ
1
bo‗ladi.
Demak, shartga binoan biz o‗rganayotgan X t.m.
H
0
gipotezaga
asosan
F x
F x
,
0
0
taqsimotga, ammo
H
1
raqobatlashuvchi gipotezaga
ko‗ra esa
F x
F x
,
1
1
taqsimotiga ega bo‗ladi. Hajmi
n
– ga teng bo‗lgan
(
X
1
,
X
2
, ...,
X
n
) tanlanma asosida qaysi gipoteza to‗g‗ri ekanini aniqlash
(1.1)
(1.2)
Aytaylik, (1.2) tengsizlikda hech bo‗lmaganda
θ
ning bitta qiymati
Agarda (1.1) va (1.2) munosabatlar ixtiyoriy
2 Parametrik statistik alomat tuzish usullari
kerak. Bu statistik masala Yu. Neyman va E. Pirsonlar tomonidan hal
qilingan.
Faraz qilaylik,
F
0
(
x
) va
F
1
(
x
) taqsimot funksiyalar absolut uzluksiz
taqsimot funksiyalar bo‗lib, mos ravishda
f
0
(
x
) va
f
1
(
x
) lar ularning zichlik
funksiyalari bo‗lsin. Quyidagi nisbatni ko‗raylik
( )
1
1
0
1
l x
f x
f x
i
i
n
i
i
n
Mana shunday aniqlangan
l
(
x
) – haqiqatga o‗xshashlik nisbati deyiladi. Bu
funksiya bilan bo‗g‗liq
c
P l x
c H
( )
0
ehtimollikni kiritamiz. Bu yerda с – soni
Ψ
(
c
) = α tenglama bilan
aniqlanadi.
Teorema(Neyman – Pirson).
Yuqorida keltirilgan shartlar
bajarilganda har doim tekis eng quvvatli alomat mavjud va u quyidagi
kritik to‗plam bilan aniqlanadi
1
*
: ( )
S
x l x
c
.
Bu yerda c- kritik nuqta
Ψ
(
c
) = α tenglamadan topiladi.
T. e. q. alomat taqsimoti funksiyasi absolyut uzluksiz bo‗lgan hol
uchun keltirildi. Ammo bunday alomat diskret taqsimotlar uchun ham
mavjud bo‗ladi.
f x
e
x
1
2
0
(
)
2
0
2
,
f x
e
x
( )
1
2
1
2
(
)
2
1
2
2
Endi haqiqatga o‗xshashlik statistik nisbati
l
(
x
) ni topaylik
i
i
i
n
l x
x
x
n
x
n
( )
exp
1
2
exp
2
2
1
2
0
2
1
2
1
0
2
1
2
0
2
2 – misol.
X
1
,
X
2
, ...,
X
n
lar noma‘lum
θ
o‗rta qiymatli va ma‘lum σ
2
dispersiyali normal taqsimlangan t.m.ning bog‗liqsiz tajribalar natijasida
olingan kuzatilmalari bo‗lsin. Asosiy gipotezaga ko‗ra
H
0
:
θ
=
θ
0
,
raqobatlashuvchi gipoteza H
1
ga ko‗ra
θ
=
θ
1
va
θ
1
>
θ
0
bo‗lsin. Demak,
U holda
( )
l x
c
tengsizlik quyidagi
x
c n
2
1
0
1
0
ln
2
tengsizlikka ekvivalent. Oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin.
n
x
n
c
n
t c
0
1
0
1
0
ln
2
( )
x
- tanlanma o‗rta qiymat
θ
0
va
2
n
- parametrlik normal qonun bo‗yicha
taqsimlangani uchun
c
P l x
c H
P
n
x
t c
t c
0
0
( )
( )
( )
( )
Bu yerda
x
( )
- Laplas funksiyasi. Tanlangan ixtiyoriy
0;1
ehtimollik
uchun,
t c
t
,
t
tengliklar bajariladigan c
α
soni har doim
mavjud. Demak, Neyman – Pirson teoremasining barcha shartlari
qanoatlantiriladi. Shu teoremaga asosan t. e. q. alomat mavjud va uning
kritik to‗plami quyidagicha aniqlanadi.
:
1
*
0
S
x
n x
t
,
t
Mana shu alomatning quvvatini hisoblaylik. Alternativ
H
1
gipotezaga ko‗ra
x
- tanlanmaning o‗rta qiymati
θ
1
va
2
n
- parametrli normal qonun
bo‗yicha taqsimlangandir. U holda
(
,
)
1
*
1
0
1
1
1
0
1
1
0
W S
P x
n
t
H
P
n
x
n
t
H
n
t
n
t
n
,
1
0
ekanligi kelib chiqadi.
Endi quyidagi masalani ko‗raylik. Aliomatning qiymatdorlik darajasi
α
ga teng bo‗lganida, ikkinchi tur xatolik β ga teng bo‗lishi uchun nechta
(2.1)
(2.1) munosabatdan ikkinchi tur xatolik
kuzatilma kerak?; ya‘ni tanlanmaning hajmi qanday bo‗lishi kerak?
Kerakli
n
soni topish uchun ikkita tenglamaga egamiz. Bular
t
va
t
n
1
0
Φ
(
y
)=
p
tenglamaning yechimini ko‗raylik. Bu tenglamaning yechimi
y
p
t
y
,
1
0
t
n
y
. Oxirgi ikki tenglikdan
n
y
y
2
2
1
0
2
1
munosabatga ega bo‗lamiz. Qidirayotgan son butun bo‗lishi lozim.
Shuning uchun,
n
y
y
*
2
2
1
0
2
1
. Bu erda [
a
] –
a
sonning butun
qismi. Masalan,
α=β
=0.05 va
1
0
0.1
bo‗lsa, u holda
n
*
=1076 bo‗ladi;
agarda
α
=
β
=0.001,
1
0
1
bo‗lsa,
n
*
=39 bo‗ladi.
Faraz qilaylik,
X
1
,X
2
, ..., X
n
lar bog‗liqsiz
n
ta tajriba natijasida
X
t.m.ning olingan kutilmalari bo‗lsin.
X
t.m.ning taqsimoti noma‘lum
F
(
x
)
funksiyadan iborat bo‗lsin. Noparametrik asosiy gipotezaga ko‗ra
H
0
:
F
(
x
)=
F
0
(
x
). Mana shu statistik gipotezani tekshirish talab etilsin.
1.
A. Kolmogorovning muvofiqlik alomati
X
1
,X
2
, ..., X
n
kuzatilmalar asosida
F x
n
( )
empirik taqsimot funksiyasini
tuzamiz. Faraz qilamiz,
F
(
x
) uzluksiz taqsimot funksiyasi bo‗lsin.
Quyidagi statistikani kiritamiz
D
D
X X
X
F
x
F x
x
n
n
n
n
,
,...,
sup
( )
( )
1
2
Glivenko teoremasiga ko‗ra n yetarli katta bo‗lganda D
n
kichik
qiymat qabul qiladi. Demak, agar asosiy gipoteza H
0
o‗rinli bo‗lsa D
n
statistika kichik bo‗lishi kerak. Kolmogorovning muvofiqlik alomati D
n
statistikaning shu xossasiga asoslangandir.
(2.2)
normal qonunning
p
– chi kvantili deyiladi. U holda (2.2) ga asosan
Do'stlaringiz bilan baham: |
