А. А. Самарский, А. В. Гулин

—у\\л^.рп\\уо—у\\л. 
(24)
Проверим выполнение неравенства (23) в случае метода верх­
ней релаксации, когда
В = - (2~ <а)- £ + <»/?, Л = В‘ + В, т = со. 
(25)
Прежде всего заметим, что
В0 — 0 ,5 тЛ = 2- (2~-м )В, 
0 
л2
поэтому неравенство (23) упрощается и принимает вид
^ 2 - ю) В Дг 
В*Л_1В.
А
2
 
2
ш
Отсюда с помощью эквивалентных преобразований приходим к не-
386

---

равенству
— Л ^ ‘ ~ р2 
ВВ \
h
2 
2ш (2— ш)
Подставляя сюда выражение для оператора 
В
из (25) и приводя- 
подобные члены, получаем окончательно
RR* + - ^ Е
^
(/? +
R-),
(26)
Л4а 2 
1 — р2 Л2а
а = ы/'(2—со).
Найдем константу р2е ( 0 , 1), при которой справедливо неравен­
ство (26). Для этого оценим сверху левую часть неравенства (26). 
При любом 
у (Е Н ь ]
имеем
(RR-y, у) =
I 
R'y
f = 1 
R\y
+
Rly
f < 2 
(\\ R {y f
+ 1| 
Rlyf).
(27)
Из определения (22) операторов 
R lt R2
получаем (см. также п. 3 
§ 1 гл. 4), что
( Rl y ) u
=
-
~
,
( Rl y ) u = - ~ ~
.
л 
/г
следовательно,
N - l N - l
^ « 2= T 2 S
S
^
w
t
= 0
1 = 1
N - l N - l
1 = 1
1=0
Таким образом,
i R l y f + \\Rtyf = -jp (.Ay, У)
и из (27) следует операторное неравенство
2
RR*
л2
А.
(28)
Далее, учитывая неравенство
Л > 6 £ ,
где б = — sin2 —---- наименьшее собственное значение оператора
/i2 
2
А,
получим
А.
h*
а2
/г4 а 26
Итак, левая часть неравенства (26) оценивается следующим 
образом:
RR* +
/г4а2
А + - ^ -
К
2 
/г4а2б
л =
/г2 
/г4а 26
(Я + Я*).
387

---

Н е р а в е н с т в о ( 2 6 ) б у д е т в ы п о л н е н о , е с л и к о н с т а н т у рг п о д о б р а т ь
и з у с л о в и я
2 
1 
4 
■
1 + Р2 
2
(29)
Л2 
' 
Л4а2б
1 
— р2 Л2а
Решая уравнение (29), получим
Р2 
=
Р2 
(«) = -
1 — р а (1 — а)
(30)
1 + р а
(1 
+
а) 
'
где
р = 0,5 /г26 = 4 sin2 — . 
г
2
Из (30) видно, что при w s(Q , 2) (т. е. при а > 0 ) выполняется 
неравенство 
р 2 ( а ) < 1 .
Следовательно, метод верхней релаксации 
сходится при сое(0, 2).
В с л у ч а е м е т о д а З е й д е л я и м е е м ш = 1 , а = 1 ,
р2= 1/(1+Л2б).
При малых h получаем р - * « 1 + 0 ,5
1+
ji
2/
i
2, ]п р _|
раций ria(e), необходимых для 
получения 
заданной
равным
«о(е) =
In е 1
In р-1
In е-1
Л2Л2 '
а л 2Л2, так что число ите-
точности е, оказывается
Следовательно, необходимое число итераций пропорционально h~2, что сви­
детельствует о невысокой скорости сходимости метода Зейделя в случае разност­
ных систем уравнений. Отметим, однако, что требуемое число итераций в методе
Зейделя примерно в два раза меньше, чем в методе Якоби (см. (9 )).
Обратимся снова к методу верхней релаксации и подберем в 
выражении (30) параметр а таким образом, чтобы минимизиро­
вать р2(сс). Нетрудно видеть, что минимум р2(а) достигается при 
а = 1/Уц, т. е. при
со -
4 
, . « ЛЛ
------ — , ц = 4 snr — ,
1 + Кр 
2
и он равен
Р. ( ' ) = P; = i = M C |
\ У И- / 
1 + 0,5 У ц
(31)
Подставляя сюда p ^ 4 s in 2^ - , получим при малых 
h,
что
Ро ;
1 — sin (лЛ/2) 
1 — яЛ/2
1 
sin (яА/2) 
1 + лЛ/2
1 — л/г.
следовательно, 1п р0-1 лг 0,5я/г и необходимое число итераций 
п„(е)
равно

---

§ 2. Применение явного итерационного метода
с оптимальным набором параметров
1. Явный итерационный метод с чебышевскими параметрами.
Данный метод подробно рассмотрен в § 6 гл. 2 ч. II применительно 
к системам линейных алгебраических уравнений
Ay = f,
 
(1)
с положительно определенной симметричной матрицей 
А.
Напом­
ним необходимые для дальнейшего сведения, относящиеся к дан­
ному методу.
Пусть выполнены операторные неравенства
(
2
)
где ^2>Т1>0. 
Е
— единичная матрица. В качестве ^ и у2 можно 
взять, соответственно, наименьшее и наибольшее собственные зна­
чения матрицы 
А.
Если точные собственные значения неизвестны, 
то под у, и у2 можно подразумевать их границы, т. е. ■у,— нижняя 
(положительная) граница минимального собственного значения и 
у2— верхняя граница максимального собственного значения.
Явный итерационный метод для системы (1) имеет вид
~Ш ~ Ук + A y k = f,