А. А. Самарский, А. В. Гулин

Л = 0, 
(3)
та
+1
где 
k
— номер итерации, 
у
к— приближенное решение системы (1), 
полученное на 
k-u
итерации. Предполагается, что задано произволь­
ное начальное приближение 
у0.
В чебышевском итерационном ме­
тоде параметры тк, 
к —
1, 2, . . . ,
п,
подбираются таким образом, что­
бы при заданном числе итераций 
п
минимизировать погрешность 
II
уп
—
У
II, возникающую на 
п
-й итерации. Под нормой ||z|| вектора 
z
здесь понимается среднеквадратичная норма
( т
\ %
N = 2 4
•
\ 
/
В § 6 гл. 2 ч. II было показано, что оптимальными являются па­
раметры 
хк,
определенные следующим образом:
то 
_ 
2 
. 
1 — Е
1 +
Ра*к
tk
=
C O S
7i + 7а 
(:
2k
— 1) я 
2 
п
Ро
1 + 1 
1,2, . 
,.,п .
(4)
Если выбрать тй согласно (4), то для погрешности будет спра­
ведлива оценка
\\yn—y\\< q jy—y\\, 
(5)
где
Уп'
2
р"
+
р
Г
P
i
=
1 — 
V i
1 + К Г
72
(
6
)
389

---

Таким образом, чтобы применить чебышевский итерационный 
метод к конкретным системам уравнений, нужно
1) убедиться в том, что матрица 
А
симметрична (или доказать, 
что данная матрица является матрицей самосопряженного опера­
тора) ;
2) найти границы спектра 
и 
матрицы 
А,
3) вычислить итерационные параметры rfe согласно (4) и упо­
рядочить их так, чтобы обеспечить устойчивость метода.
В следующих пунктах рассматривается применение данного 
метода к разностным аппроксимациям уравнений эллиптического 
типа.
2. Применение к модельной задаче. Для модельной задачи