А. А. Самарский, А. В. Гулин

pj*1 = 2 sin 
( n k ^ )  sin (nk2x[,)) 
и
s* — числа, подлежащие определению.
Подставляя (14) в (13), получим уравнение
; (
f
&’
i
,/ + Mift/+1) +
я
 (
ft
’-! +
- Чи!у) = о.
Полагая 
q = q k =  s |, приходим к задаче на собственные значения
F
t
.. + р -
.. + Яр,-.- = О,
II 
'
* V.V- 
1 I
1 
* Ч
F£, = 0,
i“Vh.
где Я = Я
а
 = 4 (1 —s ft)//i2. Выражения для Я* известны (см. § 2, гл. 3):
лк, h
sin15
nk2h
Ак — 
— h2
Выбирая 
k = ( l ,  1), получим
„ 
„ 
8 
„ 
n h
Я = Ях = 6 = —г- sin2 ---- .
Л2 
2
При этом значении 
k величина |<
7
* | = s | достигает максимума, равного
h4
191 =
Таким образом, если положим
У ij 
У и
- ,
о(1а), 
ч ' 
ч '
где 
у и — точное решение задачи (3) и
_ _г+/ ад)
— sn Fiy >
Л2б 
, 
„ . 2 
п/г
------ = 1 — 2 sin2 -----
4 
2
(15)
(16)
то согласно (12) получим г". =
q"^-, где выражение для q определено соглас­
но (15). Следовательно, для начальных данных (16) при любой норме выполня­
ется равенство
\\yn—y\\ = \ q \ n\\yo—y\\.
При малых шагах 
h имеем
q « 1 - 0 , 5 Л2б « 1 —я 2Л2,
т е. необходимое число итераций возрастает как Л-2 .
4. Метод верхней релаксации. Рассмотрим применение метода 
верхней релаксации к модельной задаче (3). Для общей системы 
уравнений (1) метод верхней релаксации определяется следующим 
образом (см. § 1 гл. 2 ч. II). Система (1) представляется в виде
(A- + A++D)y=f ,
(17)
где 
А-, А
+— нижняя треугольная и верхняя треугольная матрицы 
с нулевыми диагоналями, 
D
— диагональная матрица. Вводится 
итерационный параметр о е ( 0 , 2) и итерации определяются фор-
384

---

мулами
А-Уп±1
-f- 
А^Уп
+
D
г/п+1 + ^ 1 
f ‘
(1®)
При и = 1 метод (18) совпадает с методом Зейделя
(A- + D)yn+l+ A +yn—f.
В случае модельной задачи (3) представлению (17) соответ­
ствует запись системы в виде
^1-1,/ 
. 
Ус,in
+
Ус+и 
^Уц
А2
А2
А2
■ 
fiit 
%ij ^
^ а*,
(19)
г/у = 0, 
х ^ у „ .
Метод верхней релаксации определяется уравнениями 
i/ " + 1 ■ -4- 
tfiV
« ? .
л - о "
. 
,
г
У i . i - i
, 
3 i , / t i T S i t u
4
А2
А2
А2 V со
(
20
)
Уц
— 0, 
XijEEyh-
Способ нахождения значений г/".+1 на новой итерации тот же, 
что и в методе Зейделя. А именно, надо записать уравнения (20) 
в виде
u?+1. 
_i_ 
«"+1
_____
L гД+1 — Р<">
th-i.i
1
г/*; 
— 1 ч у
<о
(
21
)
где
г ч
— — (*А\/и + */?+!,/) + 4 1 —
- л аЛ/,
и вычислять 
У'ц'-,
начиная от левого нижнего угла области 
G.
Проведем исследование сходимости метода верхней релаксации 
(20) и покажем, в частности, что при оптимальном выборе пара­
метра <в число итераций, необходимых для получения заданной 
точности е, является величиной 
0(h~l)
(а не 
0{h~!),
как в методе 
Зейделя). Основное преимущество метода верхней релаксации пе­
ред методом Зейделя как раз и состоит в существенном увеличении 
скорости сходимости при надлежащем выборе итерационного па­
раметра <а.
Для погрешности 
2
".— у".—
уп
метода (20) получаем уравнение
2"+1. + 2?.+l 
l-ll
~ 1/-1
А2
+
i/+i +
г\
А2
М-1/
А2
- 2Г +
ш 
11
0)
1 - -
27,1
= 0,
Wft,
Z
1
i
= о. 
х ц
 е у/,,
385

---

которое приводится к каноническому виду
B - Zn+l— z^ + Azn^ 0 ,
т
где 
2
п
=
оператор 
А
определен согласно (6) и
fi = 2 ( 2 - co) 
E ^ w(Ri + R i l
т = ю,
№
{Ri 2)ч
Т ^ , (ЯЛ,-
г.-
x2,ij
fl
(2 2 )
Операторы Л, В, /?lt 
определены в пространстве # А
0) сеточ­
ных функции, заданных на ЙА и равных нулю на уА. В Я А
0) введены 
скалярное произведение
N
- 1
(у, о) = 2
У‘№ н*
»,/=1
и норма ||г/||=У(«/, у). Оператор Л является самосопряженным и 
положительно определенным оператором в ЯА
0). Более того, Л = 
= В* + В, где 
R = Ri + Ri.
Таким образом, метод (18) является стационарным итерацион­
ным методом с самосопряженным оператором Л и несамосопря­
женным оператором 
В.
Было доказано (см. п. 5 § 2 гл. 2 ч. II), что 
в этом случае выполнение операторного неравенства
В0 — 
0 , 5 х А ^ ~ ^ В ,А~1В,
Во = 0,5(В + В*) 
(23)
с константой р е (0, 1) гарантирует сходимость итерационного ме­
тода, причем для погрешности справедлива оценка
\\уа