А. А. Самарский, А. В. Гулин

4
Рис. 14. Одномерная нумерация дву­
мерного массива
Следствием малости величины £ является плохая обусловлен­
ность системы (2). По этой же причине явные итерационные мето­
ды для системы (2) сходятся медленно.
Чтобы записать систему двумерных разностных уравнений в матричном ви­
де (1), надо провести перенумерацию двумерного массива индексов (i,
в одномерный массив. Это можно сделать различными способами. Сопоставим,
например, индексу (/, /') двумерного массива индекс 
k
одномерного массива по
правилу 
k = ( N — l ) ( i — 1 ) + / (см. рис. 14). При этом, если г и 
меняются в пре­
делах от 1 до 
N— 1, то k меняется от 1 до (N— I ) 2. В результате указанной пе-
380

---

(5)
Ук+i — 4Ук
 +
Ук-\ 
Ук-jN-i)
+
УкЦЫ-\)
А2 
+
Л2 
= ~
Уравнения (5) определены для
k = (N
— 1) (i— 1) 
+ j ,
i,
/ = 2, 3, 
N—
2.
При остальных значениях 
k, учитывая нулевые граничные условия, получим сле­
дующие уравнения:
—■
4У1 + У2 + Уы = — h2f\> 
k = l  
( г = 1, / = 1 ) ,
У к -
1
— ^Ук + Ук + 1 + Ук + я - г —
—А2/*,
k = 2 ,  
3
..........
N—2 
(£=1, 
/ = 2 ,
3
...........
N —2),
I/N-2 4l/iV —1 +
—I) = —A2/
jv
 — 1, 
k = N 1 
( £ = 1 , / = N— 1),
Уk—(N—\)
—
4ук+Ук+\+Ук+{^-1)—
—
h2fk,
A = (
N
— 1) (£—1) +1
( i = 2 , 3 , . . . ,
N—2, / = 1 ) ,
—
4 y k + y k - i + y k - ( . N - \ ) + y k + ( N - i ) =  — A!fftl k = ( N — l ) i
( £ = 2 , 3, 
. . . , N —2,
/=JV-1),
Ук- i N- i ) —4pft + (/ft+ i= —A2//,, 
A 
= (N— lH N —2) + 1
( i = N — 1, / = 1 ) ,
У к -(к '-\) + Ук--,
—4(/ft 
+ y k + \
= —
h2fk,
k = (N— 1)(£V—2) + /
( i = N — 1, / = 2 , 3 , . . . , N —2),
У к - 1 * - и + У к - 1 ~ 4 у к = — h 2f k , 
k = ( N — 
l ) 2
( i = N — l, 
/ ' = W
—
1 ) .
ренумерации система уравнений (3) запишется в виде
Матрица системы (5) для случая 
N = 5 условно изображена на рис. 15, где
крестиками отмечены ненулевые элементы. Заметим, что при решении системы
(3) нет необходимости записывать ее в виде (5), мы привели такую запись лишь
для того, чтобы еще раз продемонстрировать разреженность матрицы и ее лен­
точную структуру.
3. 
Применение методов Якоби и
Зейделя. 
Запишем разностное урав­
нение Пуассона (2) в операторной 
форме (1), где оператор 
А
опреде­
лен следующим образом:
« у = -
y-XlXuij
-
х а <= щ ,
(
6
)
Уи =
0,
В дальнейшем будем рассматри­
вать для этого уравнения одношаго­
вые итерационные методы, записан­
ные в каноническом виде (см. § 1 
гл. 2 ч. II),
В - я+1~ Уп
+
Ауп =
/■ 
(7)
т п+ 1
Рис. 15. Структура матрицы си­
стемы (5) для М = 5
Начнем с наиболее простых методов — Якоби и Зейделя. Пока­
жем, что эти методы сходятся, однако их скорость сходимости не­
высока.

---

М е т о д Я к о б и д л я с и с т е м ы ( 3 ) з а п и с ы в а е т с я в в и д е
Уп
ц г
= — 
(yi-i.i
+ */?«./ +
Уи
- 1 +
yti+i
+
hzfif),
Щ,
Уц =
0, 
Х и ^ у н .
(8)
Здесь 
у
'1
ц —значение решения в точке 
на 
п
-й итерации. В дан­
ном случае метод Якоби совпадает с методом простой итерации при 
оптимальном значении итерационного параметра. Действительно, 
метод простой итерации (t/„+1—
yn) /r + A y n = f
для системы (1) в 
случае 
А*=А>0
обладает наибольшей скоростью сходимости, если 
х = т0 = 2/(б + Д), где б, А —-наименьшее и наибольшее собственные 
числа матрицы 
А
(см. § 6 гл. 2 ч. II).
Для разностного оператора Лапласа имеем (см. § 2 гл. 3)
6
0 • I
= — sin 
/г2
8 . о я/г 
. 
8 
, я
h
■, А = — cos2 —
/г2
следовательно, т0 = /г2/4. При этом значении параметра метод про­
стой итерации в случае модельной задачи (2) принимает вид
У?/1-У?/
Л2/ 4
У x,X\,ii
У 
f ii’
Х ц
(ЕЕ ом,
Уц
= о, 
Х ц
ЕЕ 
ун.
Последнее уравнение, как нетрудно видеть, совпадает с уравнени­
ем (8).
Скорость сходимости метода (8) как метода простой итерации 
с оптимальным параметром определяется числом р = —
| = —- =
Число итераций /г0 (е), необходимых для достижения заданной 
точности е, равно
п0
(е) =