А. А. Самарский, А. В. Гулин

Л'2- 1
_________
( у , V)
 = 2
h i
2
h 9 y v ° ‘i>
 
II 
у
 I! =
V
(
у
. 
у
)-
1=1 
/ = 1
Далее, зададим в 
Н
оператор 
А
формулами
(Ay)ij
= - 
{а\У~^)х,Л 
(<
-1
2
Ух)хгЛ!
T
di jl) 
11
, 
(19)
< = 1, 2, . . . ,
N i
— 1, / = 1 , 2, . . . . tf2— 1.
Тогда разностную схему (17), (18) можно записать в виде опера­
торного уравнения (1) в пространстве 
Н.
Из разностной формулы Грина (см. (15) из § 3 гл. 1) следует, 
что для оператора (19) при любых 
у, 
tie /1 справедливо тождество
N , 
N
2- 1
(Ау, 0 =
2 /;1
2 lu-a^ i УхиИ vx,.a +
1— 1 
/ = 1
iV j-1 
n
2
Л1
’l—i
n
2-
1
+ 2 /li 2
П*а^чУхг.ц
+ 2
hl
2 АА*/£/»£/- (20)
i = i
j = 1
i
/ = 1
Отсюда, меняя местами 
у 
и у, легко установить, что 
{Ау,
и) =
=
{у, Av)
при любых £/, и е Я . Следовательно, разностной схеме 
(15), (16) соответствует самосопряженный оператор 
А.
Далее, полагая в тождестве (20) 
y = v,
получим
(Ау, У)
= ^
2 М и / (!£„,■/)* +
[= 1
i = i
+ 2 ^ 1 2
(y-xJ 2 + 
2 м < / fa /)2. 
(2i)
£ = i 
/ = i
i‘= i
/ = i
Отсюда, учитывая неравенства (14), приходим к оценкам
Pi 
(Ау, У)
+
г/ f
(Ау, у)
^ р2 
(Ау, 
у) + d21| 
у
|2, 
(22)
393

---

где
N t
N
2-1
N r
-1
j
V
2
(Лг/, у) = ^
К
2
( ^ 1>l7)a + 2 ^ 2
h*
(^„y)a.
(23)
t=l /=1
Pi — Tj i+C! 
2
, p2 — Сгд-ЬСг г- 
(24)
О
Обозначение (Л*/, 
у)
объясняется тем, что сумма, стоящая в 
правой части (23), представляет собой скалярное произведение
о
двух векторов 
у
и 
Ау,
где
( А у ) ч
У х 2х и 1'1 
У х 2х2М '
^
11 2,. . ., Л/ j 
1, / 
1 ,2 ,
. . . , N 2
1.
Поскольку
б|| г/||2<(Лг/, г/)^А ||г/||2,
где
4 
• 2
я/ц
2 
к
■ + Ч
■
sin2 
яй*
, 
2/2
(25)
4 
2
—— COS2
я 
h, 
2
/,
+i
n л/lo
cos2 — -
2
/2
(26)
(см. § 1 гл. 3), из (22) следуют операторные неравенства (2) с кон­
стантами
4
i 
= M + d i, 
72
= р2А
+d2.
(2 7 )
Отсюда по формулам (4) можно вычислить итерационные па­
раметры xft и оценить согласно (5), (6) величину погрешности.
Отметим, что приведение разностной схемы (15), (16) к виду 
(17), (18) потребовалось нам только для того, чтобы определить 
оператор Л и получить оценки его спектра. После того как пара­
метры 
хк
найдены, итерации можно проводить непосредственно для 
схемы (15), (16). Сначала вычисляется невязка
=
-
(а1У^ ) Х1..
- (а2г/|),2,г/.+
+ d y y \ f - f t h  
* ' = 1 , 2 , . . . ,
N , - 1 ,  / 
= 1,2, 
. . . , N 2- l ,
а затем находится новое приближение
i = l , 2 , . . . , Л ^ - 1 , / = 1, 2, 
. . N 2
— 1.
Граничные условия доопределяются согласно (16): 
г/|/+1) 
=уц,
если
§ 3. Попеременно-треугольный итерационный метод
1. Алгебраическая теория. Пусть дана система линейных алге­
браических уравнений
А у Ч  
(1)
с симметричной положительно определенной матрицей Л порядка
394

---

т.
Зададим матрицу 
R =
(гц) следующим образом:
ai/>
если
t > / \
0,5 
ац,
если
i 
=
 
/.
0,
если
i < / .
Тогда матрицу 
А
можно представить в виде суммы 
A = R+R*,
где 
через 
R
* обозначена матрица, сопряженная с матрицей 
R
(транс­
понированная к 
R
в случае действительных матриц и комплексно­
сопряженная — в случае комплексных матриц). Ясно, что ^ — ниж­
няя треугольная матрица и i?* —верхняя треугольная, причем диа­
гонали матриц 
R
и 
R'
совпадают.
В д ал ьн ей ш е м удобно р ас см а т р и в а т ь систему уравнений (1) 
как операторное уравнение с самосопряженным положительным 
оператором 
А,
действующим в конечномерном евклидовом (уни­
тарном — в комплексном случае) пространстве.
Попеременно-треугольный итерационный метод, который будет 
рассматриваться в настоящем параграфе, относится к неявным 
итерационным методам вида
В Ук+1~ Ук
+
Ayk = f
(2)
т
с самосопряженным положительным оператором 
В.
А именно, опе­
ратор 
В
в попеременно-треугольном итерационном методе опреде­
ляется как произведение
В= {E+aR') (E+a>R),
(3)
где 
Е
— единичный оператор и ш > 0 — числовой параметр.
В дальнейшем параметры со и т будут выбраны исходя из ус­
ловий сходимости итерационного метода (2), (3). Если ш и т изве­
стны, то новая итерация 
yk+l
находится из уравнения (2) в два 
этапа. На первом этапе находится промежуточное значение, кото­
рое мы обозначим через 
у к+цг,
как решение уравнения
(£+соЯ*)г/„-и/2 = фА, 
(4а)
где 
(fk = Byk
—т
Ay„+xf.
На втором этапе, используя найденное зна­
чение г/,,+
1
/
2
, решается относительно гд+1 уравнение
(E+a>R)yh+l = yk+l/2.
(46)
Решение уравнений (4а), (46) не представляет труда, посколь­
ку матрицы 
E+aR*
и 
E+coR
являются треугольными.
Исследование сходимости 
попеременно-треугольного метода 
(2), (3) основано на теореме 1 из § 4 гл. 2 ч. II о сходимости неяв­
ных