А. А. Самарский, А. В. Гулин

1 — Л 
Yi (мо) =
2 
У Х _
1 + Л 
Y2 (ю„) 
1 + Г |
получаем выражение (13). Теорема 1 доказана.
397

---

2. Применение к модельной задаче. Рассмотрим модельную за­
дачу
— У7*1.ц — Уй'ь1{=1ч>
/ =
h N =
1, 
(14)
yio = yiN = 0, уы=у„1 = 0,
/ , / = 1 , 2 , . . . ,
j
V— 1.
Введем пространство 
Н
функций, заданных на сетке
2 =
{хц =
(Д1), 
х{п), х ^ ]
=
Иг, х {-1]
=
i h ) l s=0
и обращающихся в нуль на ее границе. Определим в 
Н
скалярное 
произведение
N
- 1
(у, v) =
2
y y v‘ih2
U—i
и норму 
\\у\\=^{у, у).
Задача (14) записывается как операторное 
уравнение (1) в пространстве 
Н,
где оператор 
А
определен следу­
ющим образом:
(Ау)и = -У т 1Х1,а-Ут*'Л>
(15)
Этот оператор является самосопряженным и положительным. 
Для того чтобы применить к системе (14) попеременно-треуголь­
ный итерационный метод, необходимо представить матрицу опе­
ратора (15) в виде 
A
= 
R + R \
где 
R
—
нижняя треугольная матри­
ца, и найти константы б и А, входящие в неравенства (6), (7).
Запишем (15) в виде
(Ay)t
У
— 
4* 
у
—
*хи(1
1 
ух2,Ц
Ух
Ь Ц +
Ух,,ц
или, более подробно, в виде
(Ау)ч —
7
h
Уд У[-и'
. 
Уд yj.j-i
\
h 
h 
)
J _
Уд
, 
Уд
h \ 
h 
h
. (16)
Тем самым оператор 
А
представлен как сумма двух операто­
ров, 
A = R+U,
где
(Щ д
=
j (Ух,д + Ух„д),
(Uy)g
— 
г
(УхиЦ
+
Ух,л)-
h
(17)
Нетрудно понять, что матрица оператора 
R
является нижней 
треугольной, а матрица оператора 
U
— верхней треугольной. Что­
бы убедиться в этом, достаточно записать систему двумерных раз­
ностных уравнений (14) в виде одномерной системы (5) из § 1.
398

---

Более того, оператор 
U
является сопряженным оператору 
R
в пространстве 
Н.
Для доказательства вычислим скалярное про­
изведение 
(Ry, v),
где 
у
и 
v
— любые сеточные функции, заданные 
на сетке Q и обращающиеся в нуль на ее границе. По определению 
оператора 
R
имеем
N - 1
(Ry, v)
= ^
\(Уа
—
Di-i.i)
+
(Ун — Ус,i-0]vii =
1\/=1
Л/—1 
N
—2 Л—1 
j
V—1 Л/—2
=
2
2
уищ
— 
2
2
—
2
2
я р и » -
i,i=
i 
t=o/=i 
i = i/=о
С другой стороны,
W-1 
А'-1 
W-1
( y ,V v )=
2 2
2
yiW-*.!— 'ZytPU+u
; ,/ = !
i , / = l
i ,/ = l
и, следовательно,
ЛЛ-i 
JV-i
( %
, Ф — ( < / , П и ) =
2
 
(yN-ljVNI — yoiVxj) +
2
 
(yi.N-lViN
— M
i l ) .  
/=1 
1=1
Выражение, стоящее в правой части последнего равенства, рав­
но нулю в силу граничных условий. Таким образом, 
(Ry, v) =
= (у, Uv)
для любых 
у, v
е Я , т. е. 
U = R \
Искомое разложение 
A = R+R
* получено.
Докажем теперь неравенства (6), (7). Как уже отмечалось, в 
качестве константы S можно взять минимальное собственное зна­
чение оператора 
А,
т. е.
с 
8 
• о 
я/i
О —
--- Sill2 ----- .
/I2 
2
Проверим выполнение неравенства (7), которое означает, что
4 \\R y \\^ A (A y , у)
 
(18)
для любого у е Я . Как показано в п. 2 § 2 гл. 3, справедливо тож­
дество
и » . » ) = s 2 f e . !,)■'>* + 2 2
1=1 /=1 
1=1 /=1
С другой стороны, из определения (17) оператора 
R
следует, что
N-i
2 ( ^ .
ч
+ ^ .
ч
)3^
‘Ч = 1
и поэтому
1№1Г
2
O b J ’ k' +
2
Ч
/ = 1
1,/=1
399

---

Таким образом, требуемое неравенство (18) выполнено с кон­
стантой Д = 8 /А2.
Заметим, что константа Д в данном случае незначительно от­
личается от максимального собственного значения оператора 
А,
8 
,
nh
которое равно — cos2 — .
Чтобы окончательно задать попеременно-треугольный метод 
для решения системы (14), надо в соответствии с теоремой 1 опре­
делить параметры со и т.
Подставляя найденные выражения для б, Д в формулы (10),
(11), получим
vl=V-T=
sm-
nh
(0 =
h
2
nh
4 sin — -
2
]/6Д = — sin —
h2
h
2n
X
=
2 ’
Vi
nh
2 sin ——
2 
~
nh
N
У‘1
nh 
~ 
Я’
l + sin —
(19)
Л2 
1 + sin -
nh
nh 1 
nh
s i n ------ 1 + 3sin —
2
2
2A
n
Константа p из оценки (12) в данном случае равна
nh
1 — s i n ----
р
= ---------
1 + 3 sin —
2
Поэтому при малых 
h
число итераций 
па(е),
необходимых для 
получения заданной точности е, оценивается как
(20)
Алгоритм нахождения значений 
yfj
на новой итерации 
k+\
в соответствии с (4а), (46) состоит в следующем. На первом этапе 
решается система уравнений
Уц 
—
h
»£+1,/ 
»£/ 
г +',/+1 
»£/ 
__
.М
А 
+
A
£ , / = 1 , 2 ,
. . . , N
 — 1, 
(21)
Ущ'А) =
0, 
/ = 1 , 2 , . . . , 
N - 1 ,
У$'А) =
0, 
£ = 1 , 2 , . . . , i V - 1 ,
где 
($$= (ВуМ)ц
—т(Л£/('‘,)ч + 'г/.;, из которой находятся промежуточ-
400

---

(Ь+У \
ные значения 
у /2
На втором этапе решается система уравнений
h
,.№+1) ,/ft+i)
УЧ 
УС-i.i ,
,j(k+1) 
1) '
у if 
yi,hl
II
+
h
h
i, / = 1 , 2.
^ /+1) = о,
/ = 1, 2, . . . , N— 1
^ +1, = 0,i 
i = l « 2, .
(
22
)
Параметры со и т выбираются здесь согласно (19). Уравнения
(21) следует начинать решать с точки 
i = N
— 1, 
j = N
— 1. В этой 
точке, учитывая граничные условия
./&+%) _ /Л
£/
л
\
л
/~ 1 — U ,
f/k+yt)
_ 
л
уравнение (21) можно записать в виде
У
- Т
СО
h
„(k+'/г)
+
'-'/г)
=
4 > N - l , N - l ,
откуда сразу же найдем 
Далее, проводим вычисления
в точке 
i = N
—2, 
\ — N
—1 и находим 
у^-^ы-и
затем продвигаемся 
влево еще на одну точку и т. д. После нахождения «/^дг-i перехо­
дим в точку 
i = N
—1, 
j = N
—2 и т. д. Таким образом вычисления 
по формулам (21) осуществляются явным образом, причем счет 
ведется, начиная с правого верхнего угла области 
G
(от точки 
i = N
—1, 
j = N
—1) и вплоть до левого нижнего угла (до точки i = 1, 
/=!)■
Система уравнении (22) решается аналогично, однако вычис­
ления здесь начинаются в точке 
i = l , j=
1 и заканчиваются в точ­
ке 
i
=
N
— 1, / =
N
— 1.
3. Попеременно-треугольный метод с чебышевскими итерацион­
ными параметрами. Как мы только что видели, попеременно-тре­
угольный итерационный метод с постоянным параметром т при ре­
шении разностных краевых задач требует 
0(h~')
итераций для 
достижения заданной точности. Покажем теперь, что использова­
ние итерационного метода
В Ук* ~ Ук. + A y k = f,
Л = 0, 1......... я — 1, 
(23)
" С и.
A = R'+R, B = ( E + a R ') ( E +
соЯ) 
(24)
при соответствующем выборе параметров т4, со позволяет сокра­
тить число итераций до 
0(/г~ъ).
Воспользуемся теоремой 3 из § 6 гл. 2 ч. II о сходимости неяв­
ного чебышевского итерационного метода. Согласно этой теореме, 
при заданном числе итераций 
п
параметры 
хК
выбираются по пра­
вилу
Тб =
т" - , 
£ = 1 , 2 .........
п,
(25)
1 “Г 
Pot к
14 
А. А. С ам ар с к и й , А. В. Гулин
401

---

где 
т0:
* = 1 , 2 ,
Ро —
1—ц
Л 
= — , 
tk
=
COS
'h
Vi +
Ъ  
' “ 
1 + 4
• , я, -ft, 
у
2— константы из неравенства (5).
(2k
- 1) я
2я
При этом для малых т] число итераций 
п0(е),
необходимых для 
получения заданной точности е, примерно равно
п0 (е) яг
In(2/
е
) 
2
Остается заметить, что для операторов (24) константы 
у,
и 
у2
определены согласно (11) и в случае задачи (14) согласно (19) 
имеем 
и поэтому
«о(£)
In (2/е)
2 
Y
л
При практическом применении данного метода следует исполь­
зовать итерационные параметры т* в том порядке, который обес­
печивает вычислительную устойчивость.
4. 
Модифицированный попеременно-треугольный итерационный 
метод. Зададим диагональную матрицу 
D
с положительными эле­
ментами на диагонали и будем рассматривать итерационный метод 
(2), где
(Z)+co/?-)D-‘ (D+co/?). 
(26)
Если 
D = E,
то получаем рассмотренный ранее попеременно­
треугольный итерационный метод. Если 
О ф Е
, то приходим к обоб­
щению метода (2), (3), которое при правильном выборе матрицы 
D
позволяет несколько уменьшить число итераций. Дополнитель­
ных трудностей при вычислении новой итерации 
yh+i
здесь не воз­
никает. Вместо алгоритма (4а), (46) можно использовать следую­
щий алгоритм определения 
yk+l:
(D
+ со/?*) 
yk+Vt
= срА, 
ср* =
Вук — тАук
-f т/,
(D + со/?) 
ук+1 = Dyk+Vt.
Таким образом, нахождение 
yh+l
снова сводится к решению двух 
систем уравнений с треугольными матрицами.
В следующей теореме получена оценка скорости сходимости 
итерационного метода (2), (26).
Т е о р е м а 2. 
Пусть A = R*+R. Предположим, что существует
самосопряженный положительный оператор D и положительные
постоянные
8в, 
AD> для которых выполнены неравенства
A ^ S
d
D,
(27)
Положим
4R'D~1R<^A
d
A.
2
_
2 
L йд Дд 
Vi ~г 
У
2
(28)