А. А. Самарский, А. В. Гулин

II 
Vk (
a d
=
(AoVk.. 
Щ)
=
 
(D~v,AD~y‘
(
D ‘%
-
 
D'Ay),
(Dv‘ih
— 
D'Ay))
=
(A {yk
— 
У),Ук — у ) =\ Ук — У l
a
,
приходим к оценке (31). Теорема 2 доказана.
14»
403

---

Смысл введения модифицированного попеременно-треугольно­
го метода состоит в том, что при соответствующих 
D
константа 
pD,
входящая в оценку (31), оказывается меньше, чем константа р 
из оценки (12). В [35, с. 425] указан способ выбора диагональной 
матрицы 
D,
минимизирующей константу pD в случае разностных 
аппроксимаций уравнений эллиптического типа с переменными 
коэффициентами.
§ 4. Итерационный метод переменных направлений
1. Формулировка метода и исследование сходимости. 
Рассмот­
рим систему линейных алгебраических уравнений
Ау = \
(1)
с невырожденной квадратной матрицей 
А
порядка 
т
и предполо­
жим, что 
А = А,+А2
представлена в виде суммы двух матриц Л, 
и 
Аг
более простой структуры. Например, в случае разностных ап­
проксимаций двумерных эллиптических задач матрица 
А а
аппрок­
симирует производные только по переменной 
ха,
сс=1, 2.
Тогда можно предложить следующий итерационный метод ре­
шения системы (1), аналогичный методу переменных направлений 
для двумерного уравнения теплопроводности (см. § 4 гл. 4).
Переход от 
k -н
итерации к (£+1)-й осуществляется в два эта­
па. На первом этапе находится промежуточное значение 
yk+.h
как 
решение системы уравнений
— — ---- — +
А1 Ук+уг
+
АгУк—
(2)
Т
На втором этапе решается система уравнений
У
ь л
-
у
^
а
+
A t f w + A,y
k+1 = /, 
(3)
т
из которой находится 
ук+1.
Здесь т > 0 — итерационный параметр, 
предполагается, что задано произвольное начальное приближе­
ние 
у а.
Записывая уравнения (2), (3) в виде
(Е
+
хАг) yk+Vt
=
(Е
— 
тЛ2) yk
+ т/, 
(4)
(Е
+
х
А2) yk+1 = (Е —
т
Ах) ук+у,
+ х/, 
(5)
убеждаемся в том, что для нахождения 
yh+l
необходимо решить 
две системы уравнений: первую с матрицей 
Е+хА,
и вторую — с 
матрицей 
ЕЛ-хАг.
Таким образом, метод (2), (3) целесообразно 
применять лишь тогда, когда матрицы 
Е+хАа,
<х=1, 2, гораздо 
легче обратить, чем исходную матрицу 
А.
Например, в случае раз­
ностных аппроксимаций уравнений эллиптического типа системы 
(4), (5) можно решить последовательным применением одномер­
ных прогонок сначала по направлению х, (для системы (4)) и за­
тем — по направлению х2 (для системы (5)).
404

---

Обратимся к исследованию сходимости итерационного метода 
(2), (3). Будем рассматривать систему (1) как операторное урав­
нение в конечномерном линейном пространстве 
Н
со скалярным 
произведением 
(у, v)
и нормой 
\\у\\ = ~У(у, у).
Определим погрешно­
сти 
zh+th, zh+l
метода как разности
ZjH-'/a— 
Ук+'h У
I 
Zh+i
—
Ук+l 
У
между решениями 
ук+ч„ yh+l
систем (2), (3) и решением 
у
исход­
ной системы (1). Введенные погрешности удовлетворяют уравне­
ниям
(Е
 + тЛх) 
гк+% = ( Е —
 тЛ2) 
2
k,
 
(6)
(Е
 + тЛ2) 
гкл = (Е —
 тЛх) 
Zk+y
,, 
(7)
из которых можно легко исключить промежуточное значение 2*+./, 
и получить уравнение, связывающее только 
zh
и гл+1:
{E+xAt) (E+xA2)z k+1 =
 (
Е - х А
,) 
( E - x A 2)zk.
 
(8)
Т е о р е м а 1. 
Пусть А = At+A2, где
Ла =
> 0, 
а =
1, 2, 
А^,А2 =
= Л2Л,. 
Тогда итерационный метод
(2), (3) 
сходится при любом
т > 0 . 
Если
0 < 6 £ < Л ,< А Л ,