А. А. Самарский, А. В. Гулин

1 +
V I
а
= 1, 2.
Отсюда и из (15), (16), получаем
115 N
1 - / 5
Ро>
V 1 + / с /
так что ||z4+1|| s=:p0||z j ^ Po||z0||. Теорема 1 доказана.
2.
Пример. Рассмотрим применение метода к модельнс 
че (14) из § 3. В данном случае
(Aay h = - y - aXaJl,
« = 1 . 2 ,
£ , / = 1 , 2 , . . . ,
N
—1, АЛ/=1,
и метод переменных направлений (4), (5) принимает вид
— 
ХУх,х,.Ц — ГЧ,
.(ft+1) 
-,.(*+1) _ (Т)Ф
— 
тУт.г.л
— ч'где
УЬ
*' - т^ , . ч
^ = ! 0 + ч & , , , + * /,,.
фц = i # 4-14’ + Ti^Xiii/ + тДу.
406
(15)
(16)
зада-
07)
08)
(19)

---

Уравнение (18) решается при каждом фиксированном / =
= 1, 2, 
N —
1 с помощью метода прогонки по направлению 
x t.
Для этого достаточно записать (18) в виде
,(Ь
у
%)
_ £ <*+>/,)
* = 1 , 2 .........
N -
1, 
= 0, 
= О,
A y № }- C y V ' A) + B y f f l ' = - F W ,
'О/ 
~> »ЛЦ
где 
A = B = x/h
2, С=1+2т//г2, и применить формулы прогонки (43), 
(44) из п. 7 § 4 ч. I. Точно так же уравнение (19) записывается в 
виде
АуТ.П - СУч
+
= - Ф\7,
/ = 1 ,2 .........
N -
1, yf«> = 0, 
= О
и при каждом фиксированном t = l , 2, 
N
—1 решается прогон­
кой по направлению 
хг.
Применим теорему 1 к исследованию сходимости метода (18), 
(19). Операторы 
A t
и Л2, определенные согласно (17), перестано­
вочны, так как разностное выражение
(A.jAiyjij = y jlXljiX2tij
определено во всех внутренних точках сетки Q, причем 
(AiA2y)ii — yj2XlTtXl.ij — ( Л Л
у
)
у
-
Таким образом, перестановочность является следствием того, 
что 
А
, и 
А 2
— операторы с постоянными коэффициентами и область 
G
— прямоугольная. Нарушение хотя бы одного из этих условий 
приводит, как правило, к нарушению перестановочности. Предпо­
ложение о перестановочности является, видимо, основным ограни­
чением теоремы 1, не позволяющим применить ее к более общим 
разностным аппроксимациям уравнений эллиптического типа.